Теорема о вычетах

Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана: (1)

Обозначим замкнутый контур целиком лежащий в кольце К и охватывает точку а. Вычислим интеграл:

Рассмотрим интеграл . Выделим три случая:

1) , (по теореме 7)

2) , Res.

3) , (по формуле Коши для высших производных)

Пояснение: формула Коши для высших производных

Заменим в формуле Коши на z, z на а

Получили равенство: Res (2)

Теорема 12.(теорема о вычетах) Если функция f(z) аналитична в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек и непрерывна на границе c одласти D, то

Res

Доказательство:

Выделим особые точки из области D с помощью замкнутых контуров . Контура выбираются таким образом, чтобы они не пересекались друг с другом и контуром с.

Рис. 1

Получим (n+1) связанную область, ограниченную с и (к=1, 2,…n), в которых функция f(z) аналитична. По теореме 9: (3).

В соответствии с равенством (2): Res(4)

Подставляя (4) в (3), получим: Res.

Дата добавления: 2014-01-14