Предел функции. Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y

Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от x, . Переменная х называется независимой переменной или аргументом.

Совокупность значений х, для которых определены значения у, называется областью определения функции.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а. Функция стремится к пределу b () при х стремящимся к а (), если для любого е > 0 найдется д > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство .

Для всех точек х, отстоящих от а меньше чем на д, точки графика функции лежат внутри полосы, ограниченной прямыми b + е, b – е.

Если при , причем х принимает значения меньше а, то пишут , b₁ называется пределом функции слева. Если х принимает значения больше а, то пишут и b₂ называется пределом функции справа. Если , то пишут .

Можно доказать, что если предел слева и предел справа равны, т.е b₁ = b₂ = b, то b и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке а. И обратно, если существует предел b в точке а, то существует предел справа и предел слева и они равны.

Пример 1. Покажем, что . Зададим е > 0, составим разность . Для того, чтобы выполнялось неравенство или , т.е. , . Для любого е для всех х, удовлетворяющих неравенству значение функции будет отличаться от 12 меньше чем на е. А это значит, что 12 будет пределом функции при .

Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена при х = а.

Пример 2. Доказать, что . Функция не определена при х = 2.

; ; ; ; .

Определение 2. Функция стремится к пределу b при , если для каждого произвольно малого можно указать N > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Пример 3. . ; ; ; .

Дата добавления: 2014-01-14