Основные теоремы о пределах. Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных

Доказательство для проводится аналогично.

Докозательство. Проведем доказательство для двух слагаемых.

Пусть

а₁+а₂ – постоянная величина, б₁+б₂ – б.м.

Функция представлена в виде суммы постоянного числа и б.м.. Следовательно .

Пример. .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела

.

Пример. .

Теорема 3. Придел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от 0

Пусть

Пример. .

Рассмотрим случай, когда знаменатель обращается в 0 . Найдем предел обратной величины

Теорема 4. Если между соответствующими значениями трех функций выполняется неравенства

при этом U и V при или стремятся к одному и тому же пределу b, то Z=Z(x) при (или при ) стремится к тому же пределу

окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство , некоторая окрестность точки а, где .

В меньшей окрестности выполняются оба

Теорема 5. Если при (или при ) функция y принимает неотрицательные значения и при этом , то b есть неотрицательное число .

Предположим b<0 тогда . |y-b| больше положительного числа и следовательно при . Следовательно .

Аналогично доказывается, если .

Теорема 6. Если между соответствующими значениями двух функций U=U(x) и V=V(x), стремящихся к пределам при (или при ) выполняется неравенство , то имеет место

Теорема 7. Если переменная величина V возрастающая, т.е. всякое ее последующее значение больше предыдущего, и, если она ограничена точкой V<M, то существует .

Примеры. Вычислить пределы

1.

2. Предел знаменателя равен 0

воспользуемся теоремой, что величина, обратная б.м. – б.б... Будем обозначать б.м. величину =0, б.б. величину .

Выражения вида называются неопределенностями.

Дата добавления: 2014-01-14