Для уравнения Пуассона

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОБ ИЗГИБЕ БАЛКИ И ДИРИХЛЕ

Лекция №9

Рассмотрим два примера применения МКЭ

1. Изгиб балки м

z

М

y

v₁ v₂ v₃ v₄ v_n+1

F F F F F

z₁ z₂ z_{i ….} z_i+1 z_n+1

Определить прогиб опорной балки, подверженной действию постоянного изгибающего момента М, когда жесткость сечения балки Е. Изгиб описывается дифференциальным уравнением

(1) Cтатически определенная

система.

Соответствующая вариационная формулировка (потенциальная энергия) для (1) имеет вид:

1) Балку разобьем на конечных элементов

z_{i i} 2) В качестве аппроксимирующих (коорди-

натных) функций для КЭ возьмем миним.

v_i+1 функции. _. Система

v_i имеет только одну степень свободы в каждом

z_i+1­–z_i= Δz узле – прогиб (в общем случае имеется прогиб

и угол поворота сечения). Коэффициенты и определим через неизвестные прогибы (определяется матрица функции формы):

(4)

(3¢)

= - координатная функция КЭ, которая содержит 2 неизвестных параметра .

Причем, Из условия

-

можно составить матрицу жесткости момента .

3) Определение кусочно-непрерывной функции для всей области:

(5)

; ~

При этом необходимо учитывать граничные условия.

В данном случае ; по (3¢)

4) Составление разрешающей системы уравнений из условия

; общее количество степеней свободы (число неизвестных ).

(6)

Пусть . Тогда - неизвестные.

1 2 3 Тогда (6) :

1 2 3 4

-

– (6¢)

;

5) Система двух линейных алгебраических уравнений тогда

z₁ z₂ z₃ z₄

v₂ v₃

6) Далее можно определить другие характеристики: .

В общем случае П= и необходимо минимизировать этот функционал. При этом координатные функции можно выбрать в виде

или

2) Задача Дирихле для уравнения Пуассона (на примере кручения стержня некругового сечения)

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона (на примере кручения прямолинейного стержня): .

Вариационная формулировка задачи (1) имеет вид:

(2¢)

Задачу (2¢) запишем в виде:

-

–

т.е. функционал (2¢) записан в виде, требуемом в МКЭ.

Приступим к реализации МКЭ для решения задачи (1).

1) Пусть область (сечение стержня) квадрат. В силу наличия четырех осей симметрии можно рассматривать только 1/8 квадрата.

6

y

(4) 0,25см

4 5

(3)

(1) 0,25см

(2)

1 см 1 0,25см 2 0,25см 3 х

; . Область разобьем на четыре треугольника КЭ, проведем нумерацию элементов и узлов .

2) В качестве аппроксимирующих (координатных) функций для j-го конечного элемента возьмем линейные аппроксимации:

, (4)

где коэффициенты вычисляются по известным координатам узлов КЭ; j=.

3) Аппроксимирующая кусочно-непрерывная функция для всей области:

(5)

где строятся и

4) Составим разрешающую систему уравнений из условия

=0 (6)

Обозначим (7.1)

- вектор столбец (7.2)

Тогда

(8)

где , знак ~ означает запись соответствующих расширенных матриц для всех узловых значений.

Здесь следует отметить, что глобальная матрица узловых значений искомых величин в каждом КЭ содержит . Аппроксимация для каждого КЭ может быть также записана в виде

, где компоненты если т.е. если не содержит элементов матрицы функции формы из j-го КЭ.

В соответствии в вышеизложенным запишем интерполяционные полиномы для КЭ:

(9)

Построим матрицы жесткости для го элементов :

. В нашем случае матрица характеристик (матрица упругости) - единичная матрица.

; -постоянные величины (10)

Вычислим коэффициенты

; ; ;

; ; (11)

Итак, по (10) или (12)

Тогда

или (13)

или

; (14)

Дата добавления: 2014-01-14