Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Длина отрезка, ее основные свойства. Измерение длины отрезка. Стандартные единицы длины. Отношения между ними




Различные подходы к введению аддитивно - скалярных величин. Основные свойства величин, изучаемые в школе. Основные свойства аддитивно-скалярной величины. Понятие об измерении величин. СИ.

Величины. Единицы величин

 

Основная литература по темам модуля

 

1. Стойлова, Л. П. Математика / Л. П. Стойлова.- М.: Изд. центр «Академия», 2007. – 432 с. Гл IV.

 

Дополнительная литература по темам модуля

 

2.Рощеня, А. Л.Алгебраические методы в построении концепции измерения и величины / А. Л. Рощеня. - Тула, 2004.-52 с.

3.Статьи в журналах, входящих в перечень ведущих научных изданий, рекомендованных ВАК РФ. 2002-2012 г.г.:

1) Гусев, В.А. Формирование зрительного восприятия объектов окружающего мира и геометрических объектов на уроках математики [Текст] / В.А. Гусев, М.Е. Фокина // Начальная школа. – 2008. - №4. –

2) Казакова, М.А. Использование геометрического материала при изучении деления в начальном курсе математики [Текст] / М.А. Казакова // Начальная школа. – 2008. - №3. – С.44-45.

3) Петрушина, С.В. О развитии пространственного мышления младших школьников / С.В. Петрушина // Начальная школа.- 2004.- №8.- с. 56-59.

4) Селькина, Л.В. Методика изучения темы «Градусная мера угла. Измерение углов» в начальном математическом образовании [Текст] / Л.В. Селькина // Начальная школа. – 2010. - №5. – С. 49-55.

5) Скворцова, М. Математическое моделирование/ М. Скворцова// Математика. – 2003. - № 14. – С. 1 – 4.

6) Сутягина, В. И. Функции геометрии в начальном обучении математике / В. И. Сутягина // Начальная школа.- 2002.- № 11.

7) Шикова, Р.Н. Использование моделирования в процессе обучения математике / Р.Н. Шикова // Начальная школа. – 2004. – №12. – С.54–58.

4. Электронные ресурсы:

1) Кононогов, С. А. Фундаментальные физические константы и системы единиц физических величин. Измерительная техника. 2007. № 1. С. 3-7. [Электронный ресурс] / С. А. Кононогов.- Режим доступа: http://elibrary.ru/query_results.asp. - Загл. с экрана.

2) Дерябина, Н. Е. Систематизация общих отношений между физическими величинами. Химия в школе. 2011. № 07. С. 43-47. [Электронный ресурс] / Н. Е. Дерябина.- Режим доступа: http://elibrary.ru/query_results.asp. - Загл. с экрана.

 

При подготовке текста лекций были использованы точки зрения В. А. Любецкого об основных понятиях школьной математики, а также некоторые точки зрения Г. М. Аматовой, Г. М., М. А. Аматова на теоретическое изложение данных вопросов по отношению к подготовке будущих педагогов. Некоторые элементы лекций взяты из энциклопедий и словарей по физике и переработаны.



 

Тема 1.

Цель изучения темы: введение фундаментальных понятий математики, связанных с величинами, единицами величин, измерением величин, обобщение и систематизация имеющихся знаний.

 

План:

1. Отражение свойств реального мира через понятие величины.Различные подходы к введению аддитивно- скалярных величин.

2. Основные свойства аддитивно-скалярной величины.

3. Понятие об измерении величин. СИ.

 

 

В самых различных областях своей деятельности людям приходится сталкиваться с такими свойствами сначала конкретных вещей, а затем и отвлеченных понятий, которые принято называть величинами. В политической экономике рассматриваются такие величины, как стоимость, цена, прибыль, капитал и т.д. Любой раздел физики также дает многообразные примеры величин: скорость, ускорение, масса, упругость, теплопроводность, сила электрического тока — это только не многие из физических величин. Различные величины вводятся и в математике. Здесь прежде всего надо указать на величины геометрические, к которым, в частности, относятся длина, площадь, объем.

Величины не существуют в отрыве от реальности, их вводят в коды познания для наблюдения за происходящими изменениями в природе и обществе. Без величин такие науки, как математика, физика, химия, астрономия, экономика и многие другие носили бы только описательный характер.

В связи с фундаментальным значением понятия величины для многих наук изучению различных величин в школе уделяется большое внимание. Начиная с дошкольного возраста, у детей формируются интуитивные представления о некоторых величинах и их практическом измерении. Учитель начальных классов должен не просто продолжать эту работу на более высоком уровне строгости, но и целенаправленно знакомить учащихся со свойствами, общими для всех скалярных величин.

Термин «величина» впервые появился в философской литературе и был связан с действительными числами. Исторически числа возникли в процессе счета предметов и измерения величин. Именно на это обстоятельство указывал Аристотель, когда писал: «То или иное количество есть множество, если его можно счесть; есть величина, если его можно измерить».

До конца XIX века, как в философской, так и в математической литературе все определения понятия величины носили лишь описательный характер. Так Герон Александрийский писал: «Величина есть все то, что может быть увеличено или разделено безгранично». Л. Эйлер называл величиной все то, что способно увеличиваться или уменьшаться.

В процессе длительной эволюции понятие величины уточнялось, развивалось и обобщалось, что привело в дальнейшем к понятиям скалярной, векторной и тензорной величин.

Мы ограничимся рассмотрением скалярных величин, т.е. величин, характеризуемых только числовым значением.

В современной математике имеется несколько подходов к понятию скалярной величины.

Системой (однотипных) величин относительно фиксированного измерения Т : U → Rт называется фактор — множество во множестве U по следующему отношению эквивалентности: u ~ ν ↔ T(u) = T(ν). Элементы такого множества, т.е. отдельные величины, будем обозначать буквой w с индексом или без него. В системе величин можно определить операцию сложения + и отношение порядка ≤, относительно которых это множество изоморфно алгебраической системе < R≥0, +, ≤ > или ее подсистеме некоторого одного и того же простого вида.

Приведем следующее аксиоматическое определение [4].

Определение 1. Системой положительных скалярных величин называется пятерка объектов < V, I, +, ≤, w0 >, где V — произвольное множество, I Í V и ≤ — бинарное отношение на V, причем w0 Î I и + — бинарная операция, определенная на множестве I со значениями в V (но не обязательно в I). При этом должны выполняться следующие аксиомы:

1) Операция + ассоциативна, т.е. " w1, w2, w3 Î I.

(w1 + w2, w2 + w3 Î I) => w1 + (w2 + w3) = (w1 + w2) + w3,

и w0 — ее нейтральный элемент, т.е. " w Î I (w0 + w = w + w0 = w).

2) Отношение ≤ является линейным порядком в множестве V и w0 — наименьший относительно этого порядка элемент в V; кроме того, подмножество I множества V обладает свойством:

" w Î I " w1 Î V (w1w => w1 Î I).

3) Операция + и ≤ порядок согласованы на I, т.е.

" w1, w2, w3 Î I (w1 < w2 => (w1 + w3w2 + w3 Ù w3 + w1w3 + w2).

4) Из большего элемента множества I можно «вычитать» меньший элемент множества I, т.е.

" w1, w2 Î I (w1w2 => $ w Î I (w1 + w = w2)).

5) Множество I > w0 = {w Î I | w0w Ù w ¹ w0} не пусто и не содержит наименьшего элемента.

6) Всякая последовательность элементов из множества I, возрастающая и ограниченная сверху элементов из I, имеет точную верхнюю грань, принадлежащую множеству I.

Запись w1 < w2 означает (w1w2) Ù (w1 ¹ w2).

По аксиоме 4 можно определить частичную бинарную операцию вычитания вида I2 → I. А именно, по аксиоме 4 для любых элементов w1 и w2 из I, удовлетворяющих условию w1w2, существует w из I, для которого w1 + w = w2. Причем такое w единственно: если w1 + w = w2 и w1 + 10 = w2, то по аксиоме 3 w < w’ => (w1 + w3 < w2 + w’, w2 < w2, что невозможно. Поэтому в аксиоме 3 вместо отношения ≤ написано отношение <. Итак, элемент w существует, принадлежит I и единственен; поэтому можно определить бинарную операцию, которая паре < w2, w2 > сопоставляет элемент w.

Элементы множества V называют величинами. Следует отметить, что для любой системы положительных скалярных величин < V, I, +, ≤, w0 > существует инъективная функция f: I → R ³ 0, обладающая свойствами:

а) для всех величин w1, w2 Î I выполняется:

w1 + w2 Î I => f(w1 + w2) = f(w1) + f(w2);

б) " w1, w2 Î I (w1 < w2 => f(w1) < f(w2));

в) f(w0) = 0;

г) функция f биективно отображает множество I на отрезок вида
[0, l] или [l, 0[, где 0 < l ≤ ¥ (если l = ¥, то речь идет об отрезке второго вида).

Рассмотрим теперь определение положительной скалярной величины согласно [2].

Пусть М — некоторое непустое множество, состоящее из элементов любой природы. Предположим, что на этом множестве задано бинарное отношение «меньше», обозначаемое символом <, и определена бинарная операция «+». называемое сложением.

Множество М, рассматриваемое вместе с определенными на нем отношением «<» и операцией «+» (М, <, +) называется системой однородных положительных скалярных величин, а его элементы — однородными положительными скалярными величинами, если выполняются следующие условия (аксиомы положительной скалярной величины):

1. ("а, b Є М) (а = b или а < b или b < а)

2. ("а, b Є М) (а < b L b < c => а < с) — транзитивность отношения меньше

3. ("а, b Є М) ($!с Є М) (с = а + b) — однозначность суммы

4. ("а, b Є М) (а + b = b + а) — коммутативность сложения

5. ("а, b Є М) (а + (b + с) = (а + b) + с) — ассоциативность сложения

6. ("а, b Є М) (а + b > а) — монотонность сложения

7. ("а, b Є М) (а > b) ($!с Є М) (b + с – а) — возможность вычитания

8. ("а, b Є М) ("n Є N) ($b Є М) (nb = a) — возможность деления

9. ("а, b Є М) ($n Є N) (а < nb) — аксиома Архимеда

10. Пусть последовательность {аi}, аi Є М (i = 1, 2, …, n, …) обладает свойством а1 < а2 < … < an < …, а последовательность {bj}, bj Є М
(j = 1, 2, …, m, …) свойством … < bm < … < b2 < b1, причем аi < вj для любых i, j Є N. И пусть для любого e > 0 существует номер k, что для всех n > k выполняется условие bn ­­– an < e. Тогда существует единственный элемент с Є М, удовлетворяющий условиям an < c < bm для любых

n, m Є N.

Свойства 1-10 полностью определяют понятие системы положительных скалярных величин.

В школьном преподавании описанные подходы совершенно неприемлемы. Все дело в высоком уровне абстракции некоторых аксиом скалярной величины. Даже в старших классах понятие величины принимается без определения.

Тем не менее, учащиеся, в том числе и младшие школьники должны получить некоторые сведения об общих свойствах положительных скалярных величин, а в процессе изучения конкретных величин ими пользоваться.

В практике школьного преподавания вполне могут быть использованы следующие свойства.

1. Скалярные величины могут быть однородными (одного рода) или разнородными.

2. Любые две величины одного рода сравнимы, либо они равны, либо одна из них меньше другой.

3. Величины одного рода могут складываться, в результате получается величина того же рода. Иными словами, для любых величин А и В однозначно определяется величина С = А + В, которую называют суммой величин А и В.

4. Величину могут умножать на действительное число, в результате получается величина того же рода. Более точно, для любой величины А
и любого положительного действительного числа х существует единственная величина В = х · А, которую называют произведением величины А на число х.

5. Величины одного рода можно вычитать, определяя разность величин через сумму. В результате вычитания получается величина того же рода. Разность А и В называется такая величина С = А – В, что А = В + С. Разность величин А и В существует тогда и только тогда, когда А > В.

6. Величины одного рода можно делить, определяя частное через произведение величины на число. В результате деления величин получится действительное число. Частным величин А и В называется такое положительное действительное число х = А : В, что А = х · В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину надо измерить. Чтобы осуществить измерение из данного рода величин выбирают величину, которую называют единицей измерения. Измерение различных величин в техническом отношении носит совершенно различный характер, для длин он один, для масс — другой, для времени — третий и т.д. В основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном, т.е. с предметом или явлением, величина которого принята за единицу измерения. В результате сравнения получается число, характеризующее измеряемую величину.

Пусть дана величина а Є М, которую мы хотим измерить, и выбран эталон — единица измерения l Є М.

Измерить величину а — это значит найти такое положительное действительное число х, что а = х · l.

При этом х называют численным значением величины а и пишут
Мl(а) = х.

М m R+
®

 

Системой измерения положительных скалярных величин называют отображение , относящееся каждой величине

 

положительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Существование единицы измерения. Во множестве М существует величина l, мера которой равна единицы. ($l Є М) (m(l) = 1).

2. Инвариантность меры. Равные величины имеют равные меры. ("а, b Є М) (а = b => мl(а) = мl(b)).

3. Аддитивность меры. Если величина равна сумме нескольких величин, то ее мера равна сумме мер слагаемых величин. ("а1, а2, …, аn Є М)
(а = а1 + а2 + … + аn => мl1) + мl2) + … + мln)).

Возможность измерять позволяет свести сравнение величин к сравнению соответствующих им чисел, а операции над величинами к соответствующим операциям над числами. При этом, говоря о величинах, необходимо четко различать:

1) объект или явление, к которым относится величина;

2) саму величину, как свойство объекта или явления;

3) числовое значение величины.

Следует отметить, что множество положительных действительных чисел R+ с определенным на нем отношением «меньше» и операцией +

(R+, <, +) само образует систему однородных положительных скалярных величин (см. аксиоматические определения выше). Действительные числа являются частным примером скалярных величин и исторически возникли в процессе измерения величин.

Все свойства, определенные во множестве однородных положительных скалярных величин, выполняются во множестве положительных действительных чисел.

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются: длина, площадь, масса, стоимость, количество товара и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины l, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот.

А = В <=> m(A) = m(B)

А < В <=> m(A) < m(B)

А > В <=> m(A) > m(B)

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины l, то для нахождения численного значения суммы А и В достаточно сложить численные значения величин А и В.

А + В = С => m(A+В) = m(A) + m(В)

3. Если величины А и В таковы, что В = х · А, где х — положительное действительное число, и величина А измерена при помощи единицы величины l, то, чтобы найти численное значение величины В при единицы величины l, достаточно число х умножить на число m(A).

В = х · А => m(В) = х · m(A).

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами.

Перейдем к рассмотрению вопроса истории развития системы мер согласно[2].

Потребность в измерениях человек ощутил очень рано. В связи с необходимостью производить орудия труда, строить, добывать пищу ему приходилось измерять расстояние, емкость, массу, время и пр.

В дошедших до нас памятниках имеются некоторые сведения о системах мер древних народов. Известно, например, что строители египетских пирамид в качестве эталона длины использовали локоть — расстояние от локтя до конца среднего пальца, древние арабы — волос из ослиной морды. Почти все народы мира измеряли расстояния шагами или днями пути.

Вначале такие субъективные меры, общие для жителей некоторой территории, удовлетворяли людей. Но в связи с развитием торговли и ремесел резко стал ощущаться их недостаток.

В 15-16 веках стали появляться более объективные единицы измерения величин. В Англии, например, дюйм — длина приставленных к другим представленных зерен, вынутых из средней части колоса, геометрический фут — ширина 64 ячменных зерен, положенных бок о бок. В качестве единицы массы вводится гран — масса зерна, карат — масса имени одного из видов бобов.

Следующий период в развитии системы мер можно связать с появлением дольных и кратных единиц.

Разнообразие мер у разных народов мешало активному налаживанию торговых связей, тормозило развитие производства. В 1791 г. Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая по мнению ее создателей, годилась «на все времена и для всех народов». В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, масса — в килограммах, а площадь земельных участках — в акрах. В качестве основной единицы принимался метр. Поскольку меры основных величин были связаны с метром, новая система мер получила название метрической.

В 1960 г. было принято решение о введении Международной системы единиц (СИ).

Постановлением Госстандарта СССР (ГОСТ) от 6 апреля 1979 г. был введен в качестве государственного стандарт СТСЭВ 1052-7б «Метрология. Единицы физических величин» со сроком начала применения с 01.01.1980 г.

На территории СССР вошла в действие как обязательная Международная система физических единиц (СИ), а также десятичные кратные и дольные от них единиц. Эта система состоит из 7 основных единиц (метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль и кандела), двух дополнительных (радиан и стерадиан) и производных единиц, образованных из основных и дополнительных.

Физические величины, измеряемые с помощью 7 основных единиц, называются основными. К ним относятся: длина, масса, время, сила тока, температура, количества вещества, сила света.

Величины, которые определяются через основные, называются производными. Примером производных величин являются площадь, объем (вместимость), скорость, ускорение.

 

Следует отметить, что СИ (SI) — сокращенное наименование, означающее «система интернациональная».


 

SI. Основные и дополнительные единицы
Величина Наименование основной единицы Определение единицы
Длина Метр 1 650 763, 73 длин волн излучения оранжевого цвета изотопа криптона - 86 в вакууме
Масса Килограмм Единица массы, равная массе международного прототипа килограмма
Время Секунда Промежуток времени, равный 9 192 631 770 периодам электромагнитного излучения, соответствующего определенному переходу в атоме цезия-133 в отсутствие внешних полей
Температура Кельвин Единица термодинамической температуры, равная 1/273,15 части термодинамической температуры затвердевания дистиллированной воды при давлении в 101 325 Па
Количество вещества Моль Количество вещества, содержащее столько же частиц (атомов, молекул, ионов и т.д.), сколько атомов содержится в 0, 012 кг нуклида углерода С¹²
Сила электрического тока Ампер Сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии один метр от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2·10ˉньютона на каждый метр длины проводников
Сила света Кандела Сила света, испускаемого с 1/600 000 м² поверхности абсолютно черного тела в перпендикулярном к этой поверхности направлении при температуре затвердевания платины и при давлении в 101 325 Па
  Наименование дополнительной единицы  
Плоский угол Радиан Центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
Телесный угол Стерадиан Телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, длина которой равна радиусу сферы

 

Значение приставок, рекомендуемых для обозначения дольных и кратных единиц указаны ниже.

Приставки и множители дольных и кратных единиц
Наименование приставки Отношение к главной единице Новое русское обозначение Международное обозначение
Пико 10 ˉ¹² П p
Нано 10 ˉ Н n
Микро 10 ˉ Мк μ
Милли 10 ˉ ³ М m
Санти 10ˉ ² С c
Деци 10ˉ ¹ Д d
Дека Да da
Гекто 10 ² Г h
Кило 10 ³ К K
Мега 10 М M
Гига 10 Г G
Тера 10 ¹² Т T

дольные единицы.и и их примеры.

 

 


 

Тема 2.

Цель изучения темы: введение понятий длины отрезка, измерения длины отрезка, обобщение и систематизация имеющихся знаний о единицах длины.

 

План:

1. Величины, изучаемые в начальной школе.

2. Длина отрезка, ее основные свойства.

3. Измерение длины отрезка. Стандартные единицы длины. Отношения между ними.

 

В начальных классах рассматриваются такие величины как длина, площадь, масса, время и др. Учащиеся должны получить конкретные представления об этих величинах, ознакомиться с единицами их измерения, овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерения в различных единицах, выполнять арифметические действия над величинами.

Изучение величин имеет большое значение, т.к. понятие величины является важнейшим понятием математики. Каждая изучаемая величина — это некоторое обобщенное свойство реальных объектов окружающего мира. Упражнения в измерениях развивают пространственные представления, вооружают учащихся важными практическими навыками, которые широко применяются в жизни. Следовательно, изучение величин — это одно из средств связи обучения с жизнью.

Величины рассматриваются с I по III класс в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей; обучение измерению связывается с обучением счету; новые единицы измерения вводятся вслед за введением соответствующих счетных единиц; арифметические действия выполняются над натуральными числами и над величинами. Измерительные и графические работы как наглядное средство используются при решении задач. Таким образом, изучение величин способствует усвоению многих вопросов курса математики.

Обучение измерению величин в начальной школе начинается с формирования понятия длины у младших школьников как общего свойства протяженности предметов.

Рассмотрим теоретические аспекты изложения этого вопроса согласно аксиоматическим определениям темы 1[4].

Отрезок на арифметической прямой R можно определить как упорядоченную пару точек <a, b>, где a, b Î R и a ≤ b. Множество всех отрезков обозначим U.

Положим T(u) ↔ b – a, где u = <a, b> Î U. Такое Т назовем измерением длины отрезка. Тогда Rт = R≥0. Можно в качестве множества измеряемых объектов выбрать U ↔ R2. Тогда положим T(u) ↔ b – a, где
u = <a, b> Î R2. Получим Rт = R.

В соответствии с общим определением, величиной отрезка (относительно измерения длины) называется совокупность всех отрезков, имеющих одинаковую длину. Ясно, что Т (<a, b>) = Т (<c, d>) ↔
($ h Î R+ ((a + h = c) Ù (b + h = d))). Поэтому оказывается, что величину отрезка можно определить и не используя самого измерения Т. А именно, величиной отрезка <a, b> называется класс эквивалентности

[<a, b>] ↔ {<c, d> Î R2 | $ h Î R+ (<a, b> + h = <c, d>)}

где c, d Î R и a ≤ b. В этом определении вместо отображения Т используется группа R+. Система величин U/~ состоит из всех классов эквивалентности [<a, b>], т.е. совпадает с фактор-множеством множества отрезков относительно отношения эквивалентности:

(<a, b>) ~ <c, d> ↔ $ h Î R+ (<a, b> + h = <c, d>).

 

Длина является величиной, характеризующей пространственную протяженность объектов. Рассмотрим основные свойства этой величины, многие из которых используются в начальном курсе математики. Как было изложено выше, длины всевозможных отрезков образуют некоторое множество L. Один способ наглядного представления этого множества заключается в следующем [2].

Рассмотрим луч ОХ, на котором от начала О отложены всевозможные отрезки. Пусть А — произвольная точка, принадлежащая лучу. Будем считать, что А изображает длину а отрезка ОА.

 
 

 


Пусть b — длина, характеризующая произвольный отрезок MN. Отложим на луче ОХ отрезок ОВ, равный отрезку MN. Точка В будет соответствовать длине b. При таком представлении очевидна справедливость следующих утверждений:

1) каждая точка луча изображает некоторую длину;

2) разные точки изображают разные длины;

3) каждая длина изображается некоторой точкой.

Таким образом, между множеством длин отрезков L и множеством точек луча ОХ легко определить отношение «меньше», которое, очевидно, является отношением порядка.

Определение: Длина а меньше длины b тогда и только тогда, когда на луче ОХ точка А лежит между точками О и В. Множество длин L с введенным на нем отношением «меньше» и операция сложения (L, <, +) является одним примером конкретной системы положительных скалярных величин.

В процессе измерения конкретные длины a, b, c … оказываются выраженными положительными числами m(a), m(b), m(c) … так, что выполняются следующие свойства:

1. Существует отрезок l, длина которого принимается за единицу m(l) = 1;

2. Равные длины при выбранной единице выражаются равными числами.
("а, b Є L) (а = b => т.е. ml(a) = ml(b));

3. Число, соответствующее сумме длин, равно сумме чисел, соответствующих слагаемых, т.е. для любых длин a1, a2, … an Є L выполняется условие
а = a1 + a2 + … + an => ml(a) = ml(a1) + ml(a2) + … + ml(an);

4. Длина меньшего отрезка выражается меньшим числом

("а, b Є L) (а < b => т.е. ml(a) < ml(b)).

Справедливость свойств 1-4 вытекает из свойств множества положительных действительных чисел R+ .

 

Стандартные единицы длины.

 

Величина Единица Обозначение Определение
Международное Русское
Длина метр m М Метр равен 165076,373 длин волн в вакууме излучения, соответственно переходу между уровнями 2p10 и 5d5 атома криптона 86 (XI ГК МВ)  
Обозначения рекомендуемых дольных и кратных единиц: км, см, мм, мкм, нм.

Значение приставок, рекомендуемых для обозначения других дольных и кратных единиц по отношению к единице «метр» см. в таблице к теме 1.

Русская система мер складывалась как под влиянием мер, принятых у других народов, так и самостоятельно. Основными мерами длины считались вершок, четверть, аршин, сажень, верста. Все они были связаны между собой: четверть равнялась 4 вершкам; аршин — 4 четвертям; сажень — 3 аршинам; верста — 500 саженям.

Метрическая система мер на территории России стала применяться только после революции 1917г., а окончательно вошла в употребление на территории СССР с 1927г.

Первые представления о длине как свойстве предметов у детей возникают задолго до школы. К началу обучения в школе дети выделяют без ошибок линейную протяженность (длину, ширину, высоту предметов).

С первых дней обучения в школе ставится задача уточнять пространственные представления детей. Этому помогают упражнения на сравнение предметов по протяженности. В процессе этих упражнений обрабатывается умение сравнивать предметы по длине, а также обобщается свойство, по которому происходит сравнение — линейная протяженность, длина.

Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямой линией и отрезком как «носителем» линейной протяженности.

Далее происходит знакомство детей с единицами измерения длины: сантиметром, дециметром, метром, километром. Рассматриваются преобразования величин: замену крупных единиц мелкими и мелких единиц крупными, например, 3дм 5см = 35 см и 48 см = 4дм 8 см.

Постепенно учащийся осознает, что числовое значение длины зависит от выбора единицы измерения (например, длина одного и того же отрезка может быть обозначена и как 3 дм, и как 30 см).


Тема 3.





Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 1318; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.80.89.146
Генерация страницы за: 0.113 сек.