Альфа-распад

Альфа-распад есть самопроизвольный процесс испускания ядрами a-частиц, в результате которого массовое число А уменьшается на четыре, а зарядовое число Z уменьшается на два: В настоящее время известно более двухсот a -активных ядер, из которых большинство получаются искусственно.

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия, выделяющаяся при a-распаде, определяется соотношением

(5.9)

Основная часть энергии a-распада уносится a-частицей и лишь»2%-конечным ядром. Эту энергию можно найти, если учесть закон сохранения импульса.

Характерной особенностью a-распада является очень сильная зависимость периода полураспада Т_1/2 от энергии Е_a вылетающей a-частицы. Уменьшение Е_a всего на 1% может увеличить период полураспада в 10 раз, а уменьшение Е_a на 10% может увеличить Т_1/2 на 2-3 порядка. Периоды полураспада a-активных ядер изменяются в широчайших пределах. Так например, для изотопа свинца ²⁰⁴Pb Т_1/2 = 14·10¹⁷лет, а для изотопа радона ²¹⁵Rn Т_1/2 =10^-6c. Энергии же вылетающих a-частиц заключены в довольно узких пределах, а именно 4-9 МэВ для тяжелых ядер 2-4,5 МэВ для ядер редкоземельных элементов.

Связь между величинами Т_1/2 и Е_a была эмпирически установлена Гейгером Неттолом еще в 1911-1912 гг. и получила название закона Гейгера - Неттола. Физический смысл этого закона был понят только после того, как к теории a-распада была применена квантовая механика. В современном виде закон Гейгера - Неттола имеет вид

, (5.10)

где C и D – постоянные, независящие от А и слабо меняющиеся с изменением Z.

Познакомимся теперь с главными чертами теории a-распада, основы которой были заложены в 1928 г. независимо друг от друга Г. Гамовым[8], с одной стороны, и Гёрни с Кондоном[9], с другой.

Будем исходить из идеализации, что a-частица уж существует внутри ядра. При такой идеализации ядро состоит из дочернего ядра и a-частицы. На расстоянии от ядра, где практически перестают действовать ядерные силы, остается только кулоновское отталкивание. На малых расстояниях от ядра отталкивание должно перейти в притяжение, обусловленное ядерными силами, иначе a-частицы в ядре не могли бы удержаться. В простейшем приближении модельный потенциал U(r) принимается равным

(5.11)

где R-радиус дочернего ядра. Он представлен на рис 5.1 жирной линией, верхняя часть которой изображена штриховой линией, чтобы отметить, что в переходной области левая часть кривой U(r) в действительности плавно переходит в кулоновскую часть, расположенную правее.

Как же происходит a-распад? Ещё Кельвин предполагал, что частицы, испускаемые радиоактивным элементом, как бы кипят внутри потенциального кратера. Время от времени одна из частиц получает избыток энергии над средней. После чего преодолевает барьер и, вылетев за него, ускоряется отталкивательным полем, приобретая большую энергию. Однако эта наглядная картина, как было показано Резерфордом, противоречит опыту.

Из опытов Резерфорда следовало, что радиус ядра (в частности U) не более 30 Фм. Из этого следовало, что энергия a-частиц (если следовать гипотезе Кельвина) будет равна

.

В то же время энергия a-частиц U равна Е_a = 4,1 МэВ. Таким образом, опыт приводил с точки зрения классической физики к парадоксальному положению: нужно было предположить, что кулоновское поле ядра действует на падающие извне a-частицы, но не действует на вылетающие из ядра, либо считать, что закон сохранения энергии не выполняется при радиоактивном распаде.

Рис. 5.1. Кривая потенциальной энергии a -частицы в функции расстояния от ядра.

Решение этого парадокса находится в квантовой механике, приводящей к возможности туннельного эффекта через потенциальный барьер, разделяющий область притяжения (r<r₀) от области отталкивания (r>r₀). Идея туннельного эффекта и возможности с его помощью объяснить с его помощью объяснить явление a -распада принадлежит Г. Гамову (независимо от него она была сформулирована Генри и Кондоном).

Для вычисления коэффициента «просачивания» (прозрачности барьера) рассмотрим сначала более простую форму барьера - прямоугольный одномерный барьер (рис. 5.2), а потом обобщим полученный результат на одномерные барьеры произвольной формы.

Рис. 5.2. Схема потенциального барьера.

Пусть частица с энергией Е движется вдоль оси х от -∞ к +∞ и в интервале от 0 до а встречает прямоугольный потенциальный барьер высоты V_0. Движение частицы будет описываться стационарным уравнением Шредингера . Для нашего одномерного случая это уравнение выглядит как: . Это линейное однородное уравнение второго порядка. Общий вид решения такого уравнения , где С₁ и С₂ –постоянные, зависящие от граничных условий, а k₁ и k₂ – корни характеристического уравнения . Здесь m -приведенная масса

Разобьем все пространство на три области: I) от -∞ до 0; II) от 0 до а; III) от а до +∞ (см. рис. 5.2.).Запишем уравнения Шредингера и его решения для этих областей.

Область I: , , где ;

Область II: , , где

Область III: , , где .

В области I, кроме падающей на барьер волны A₁e^ikx, движущейся в положительном направлении оси х, имеется отраженная от барьера волна B₁e^-ikx, движущаяся в противоположном направлении. В области III должна быть только волна A₃e^ikx, распространяющаяся в положительном направлении оси х, а значит B₃= 0. Учитывая, что нас интересует коэффициент пропускания потенциального барьера (область II), который равен отношению плотности прошедшего потока (j_d~| A₃e^ikx|² к плотности падающего (j₀~| A₁e^ikx|², мы можем всегда выбрать падающий поток такой величины, чтобы A₁ =1. Таким образом, волновая функция приобретает вид

(5.12)

Для нахождения амплитуд волн В₁, А₂, В₂ и А₃ воспользуемся условием непрерывности волновой функции и её первых производных на границах областей. В результате получим систему линейных уравнений относительно В₁, А₂, В₂ и А₃:

(5.13).

Решая эту систему, найдем амплитуду прошедшей волны

(5.14).

Замечание:

1) Принципиальное отличие квантовомеханического решения от классического состоит в том, что в классической физике частица локализована, а в квантовой механике - нет. В классической физике говорят об энергии и состоянии частицы, когда она находится в определенном месте пространства, независимо оттого, что происходит в других местах. В квантовой механике это не так. Решение, даваемое квантовой механикой, – волна, которая относится ко всему пространству. Падающая волна органически связана с отраженной и прошедшей волнами. Нельзя выделить одну из этих волн, отвлекаясь от остальных. Полная энергия Е относится не к какой-либо одной волне, а к состоянию частицы в целом, определяемому всеми тремя функциями Y_I,Y_II,Y_III. Понимание этого обстоятельства позволяет избежать многих парадоксальных выводов, связанных с прохождением частиц через потенциальный барьер.

2) При сравнении квантовомеханического решения с классическим рассмотрим сначала случай Е>U. В этом случае все три волны – падающая, отраженная, и прошедшая – однородны. Отличие квантового случая от классического состоит прежде в том, что в классическом случае нет отраженного потока частиц. Для однородной волны можно ввести понятие плотности вероятности потока вещества. В самом деле, однородный поток не локализован, он характеризуется определенной плотностью импульса. Можно говорить и о скорости распространения вероятности такого потока. Она просто совпадает с классической скоростью и равна v=p/m. Плотность вероятности потока массы вещества равна mvy^*y.

3) Отношение плотности вероятности потока массы в отраженной волне к плотности вероятности потока массы в падающей волне называется коэффициентом отражения частицы R. Аналогично определяется коэффициент пропускания частицы D. Он называется также пропускаемостью или прозрачностью барьера.

Используя уравнения (5.13) для этих величин, находим R=|B₁|² и D=|A₃|²

Подставив значение А₃ из (5.14) получим

(5.15)

Если ma>> 1, то sh(ma)=1/2(e^ma- e^-ma)»1/2 e ^ma и

, (5.16)

Где коэффициент D₀ слабо меняется с изменением a, E, U. Его можно принять постоянным и в большинстве интересных случаев считать порядка единицы.

Обобщим полученный результат на барьер произвольной формы. Для полноты рассмотрим теперь потенциальный барьер, в котором U является произвольной функцией х. Пример такого барьера приведен на рис. 5.3. Горизонтальная прямая U(х)=Е пересекает кривую барьера в двух точках с абсциссами х₁ и х₂. Разобьем всю площадь под потенциальной кривой на заштрихованные прямоугольники, каждый из которых можно рассматривать как прямоугольный потенциальный барьер.

Пусть ширина одного из таких прямоугольников равна dx, высота U(х). Если dx взять достаточно большим, то коэффициент пропускания такого барьера представляется выражением .

Коэффициент пропускания всего барьера получится путем перемножения выражений такого вида. При этом показатели степеней сложатся, и в результате получится выражение

. (5.17)

Формула (5.17) была получена для плоского потенциального барьера из волнового уравнения Шредингера для стационарных состояний. Но если происходит a-распад, то состояние системы из a-частицы и дочернего ядра, строго говоря, не стационарно: имеется поток вероятности из центра ядра, не исчезающий на бесконечности. Поэтому формула (5.17) может быть справедлива только для достаточно медленных процессов, которые могут рассматриваться как приближенно стационарные. Для определения проницаемости барьера сферическую поверхность ядра можно приближенно считать плоской (сферическая симметрия), заменив в формуле (5.17) пределы интегрирования х₁ и х₂ на r₁=R и r₂=zZe²/ E, соответствующие классическим точкам поворота (см. рис. 5.1). Дочернее ядро можно считать неподвижным, поскольку его масса значительно превосходит массу a -частицы. Чтобы получить вероятность распада в 1 секунду l (постоянную распада), надо умножить проницаемость барьера D на предэкспоненциальный множитель n, учитывающий вероятность образования a-частицы и её появления на границе ядра. Таким образом, получается формула

. (5.18)

Наибольшие трудности вызывает вычисление величины n. Однако для наиболее существенного понимания эту величину достаточно оценить грубо, так как постоянная распада l зависит от неё несравненно слабее, чем от показателя экспоненты. Оценим n из классических соображений, как это делалось в первоначальных работах Гамова. Положим n=v/R, где v- средняя скорость a-частицы в ядре, а R -радиус ядра. При такой интерпретации n представляет собой приближенно среднее число соударений, которые испытывает a-частица в одну секунду с поверхностью ядра. Скорость v приближенно оценим из соотношения неопределенности mv·R~h/2p / В результате получаем

. (5.19)

В случае кулоновского барьера U=zZe²/r. В этом случае интеграл в (5.19) вычисляется подстановкой 2m(U-E)=x². В итоге получаем

. (5.20)

Здесь B=zZe²/R – высота кулоновского барьера, E – энергия a-частицы, вылетевшей из ядра.

Из формулы (5.20) с учетом соотношения t=1/l получается . Если предположить, что E/B <<1, то можно получить закон Гейгера-Неттола. В этом приближении

. Отсюда

, или , (5.21)

где величины K и L слабо зависят от Z.

Эта экспоненциальная зависимость от энергии чрезвычайна сильна. Она объясняет характерный вид тонкой структуры a -спектров естественной радиоактивности: наиболее интенсивной линией является обычно a₀, т.е. a-линия, возникающая при a-распаде из основного состояния материнского ядра в основное состояние дочернего (см. табл. 5.1).

Таблица 5.1

Характеристики a -переходов ²³⁸Pu®²³⁴U+⁴He

Группа a -переходов	Энергия a -перехода, кэВ	Интенсивность, %	J^p материнского ядра	J^p дочернего ядра
a0	5593,2	70,9	0^+	0^+
a1	5549,7		0^+	2^+
a2	5449,9	0,11	0^+	4^+
a3	5297,1	0,003	0^+	6^+
a4	5096,2	7·10^-6	0^+	8^+
a5	4806,9	2·10^-5	0^+	1^-

Центробежный барьер. Во всем изложенном выше предполагалось, что a -частица вылетает из ядра с нулевым орбитальным моментом импульса, т. е. в s–состоянии (l=0). Пусть теперь l¹0. В классической физике орбитальный момент можно учесть, если перейти в систему отсчета, которая вращается вместе с частицей. В этом случае к потенциальной функции нужно добавить центробежную потенциальную энергию U_цб = L ²/(2 m r²), где L - момент импульса. В квантовой механике можно поступить также, но учесть квантование момента по формуле L ² =. Таким образом, следует положить

. (5.22)

Центробежный барьер создается центробежной силой а эта сила стремится удалить a -частицу от ядра. Казалось бы, она способствует распаду. Но такое заключение было бы правильным, если бы происходил надбарьерный процесс. Для подбарьерного перехода, каковым является a - распад, всё происходит наоборот. Центробежная сила повышает потенциальный барьер и увеличивает его ширину, что приводит к увеличению периода полураспада (уменьшению l).

(5.23)

Однако влияние центробежного барьера не может быть очень значительным для ядер с Z»90.

Дата добавления: 2014-01-14