Основные определения и понятия. Ранее мы рассмотрели дифференциальное исчисление функции одной переменной , когда функция зависит от одной независимой переменной

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Ранее мы рассмотрели дифференциальное исчисление функции одной переменной , когда функция зависит от одной независимой переменной . В реальных процессах часто некоторая переменная (функция) зависит от нескольких независимых переменных. Так объем тела - функция его трех измерений . Производительность труда рабочего - функция, зависящая от разряда рабочего, от оснастки рабочего места, от настроения и т. д.

Если каждой паре значений двух, независимых друг от друга, переменных величин и , из некоторой области их изменения , соответствует определенное значение величины , то называется функцией двух независимых переменных в , что записывается , , , … Функция двух переменных может быть задана аналитически (в виде формулы), таблично, графически (график функции двух переменных - поверхность), с помощью задания алгоритма для вычисления на ЭВМ. Совокупность пар значений и , при которых функция определена (имеет определенные, действительные значения) называется областью определения или областью существования этой функции. Область определения функции двух переменных геометрически изображается в виде некоторой совокупности точек на плоскости . В частности областью определения может быть вся плоскость . В других случаях областью определения может быть часть плоскости , ограниченная некоторыми линиями.

Приведенное определение функции двух переменных легко обобщается на случай функции трех и большего числа переменных. Переменная величина называется функцией независимых переменных , если каждой рассматриваемой совокупности значений этих переменных () соответствует определенное значение переменной . Функцию трех и большего числа переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно. Можно дать понятие области определения функции трех и большего числа переменных. Областью определения функции трех переменных может быть пространство или его часть, ограниченная некоторыми поверхностями. Область определения функции четырех и большего числа переменных не имеет простого геометрического толкования.

Частные и полное приращения функции нескольких переменных

Пусть имеем функцию двух переменных , которой в прост-

ранственной прямоугольной системе координат соответствует поверхность

(Рис. 1). На приведенном рисунке точки , , ,

. Тогда частное приращение функции по переменной , будет , частное приращение по переменной , будет , полное приращение

Рис. 1

по обеим переменным . В общем случае конечно .

Для функции большего числа переменных частные и полное приращения определяются аналогично.

Дата добавления: 2014-01-14