Предел и непрерывность

Пусть . - область определения этой функции. .

Окрестностью точки радиуса называется множество точек , для которых выполняется неравенство .

Число называется пределом функции при , если для любого найдется , что для всех

точек , для которых выполняется неравенство , имеет мес-

то и неравенство .

Можно сформулировать аналогичные определения для случаев фун-

кции трех и большего числа переменных. Правила предельного перехода

имеют здесь такой же вид, как и для случая функции одной переменной.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции равен значению функции в предельной точке:

. (1)

Если принять , , то и из (1) получим и т.о.

. (2)

Соотношению (2) соответствует следующее определение непрерывной функции.Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малому приращению независимых переменных соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если в некоторой точке не выполняется условие непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной области. Свойства функций, непрерывных в точке и в области формулируются по аналогии с соответствующими свойствами функции одной переменной. На основании свойств непрерывных функций, как и ранее для функции одной переменной, точки разрыва функции нескольких переменных следует искать лишь среди точек, не принадлежащих области существования функции.

П р и м е р ы.

- функция определена на всей плоскости и, следовательно, непрерывна во всех точках.

- функция не определена в точке , которая является точкой разрыва функции.

- функция не определена в точках, в которых знаменатель правой части обращается в ноль и тогда точки, лежащие на окружности - точки разрыва этой функции.

.

Дата добавления: 2014-01-14