Ряды Фурье

1 Определение РФ. Пусть f инт на промежутке , числа , , наз. коэфф Фурье f, а ряд , составленный при помощи этих коэфф. наз рядом Фурье f, при этом пишут .

Вид КФ тесно связан со свойством ортогональности тригонометрической системы : интеграл от произведения двух функций системы равен нулю.

Пусть −конечная сумма, умножим ее на и проинтегрируем по промежутку , справа останется только один интеграл, , и т.д. Задача разложения фун в ряд Фурье необходима в теории колебаний и теплопроводности.

Приведем дост. признак представления функции рядом Фурье.

Признак сх Дирихле. Если функция кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная, то ее ряд Фурье сх к в т. непр и к в т. разрыва.

Пр. .

2 РФ чет и нечет фун.

Подготовка (1) f чет Þ ; (2) f нечет Þ .

Пусть f чет, тогда ее ряд Фурье состоит из :

Пусть f нечет, тогда ее ряд Фурье состоит из :

Примеры

Задача. Разложить функцию f, заданную на промежутке [0, π] в ряд из .

Решение: продолжить функцию f влево по нечетности и разложить ее в обычный ряд Фурье, все! Сходным образом можно добыть разложение только по .

Пр. .

3 Разложение на промежутке . Пусть функция f задана на промежутке . Фун переводит на и для фун можно построить РФ, , , Þ

Пр.

Дата добавления: 2014-01-14