Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей

Опр. Пусть в опытесуществуют события А и В.

Условной вероятностью события В при наличии события А называется величина

Пример задачи:

Найти вероятность социолога среди женщин.

Т.е. необходимо найти «условную вероятность того, что случайно выбранное лицо социолог, при условии что оно является женщиной», т. е. мы рассматриваем только женщин и находим вероятность нахождения среди них социологов.

Правило умножения вероятностей: (теорема)

Вероятность произведения (пересечения) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при наличии первого.

Пример: Из урны с 4 белыми и 3 чёрными шарами вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение: С - оба шара – белые.

или

где А - первый шар белый

В - второй шар белый

очевидно

Теперь если событие А свершилось то осталось 6 шаров и среди них 3 белых, следует

следует

Другой путь:

Всего: (нет важности в порядке вытащенных шаров)

Благоприятных случаев - если первые два шара с 1 по 4,

т. е. причём при каждом из них можно составить (7 - 2)! перестановок т.е.:

Правило умножения вероятностей для произвольного числа случаев:

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причём вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Опр. Событие а называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от того, произошло В или нет, т.е.

В противном случае если событие А зависит от В.

Теорема:

Зависимость и независимость событий всегда зависимы.

Другая формулировка теоремы:

Если событие А зависит от В, то и В зависит от А.

И наоборот если А не зависит от В. то и В не зависит от А.

Доказательство:

Пусть

И наоборот

Опр. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Правило умножения для независимых событий:

т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Опр. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других.

Замечание: Попарная независимость ещё не означает их независимость в совокупности.

P. S. В природе нет абсолютно независимых событий.

Пример применения правил теории вероятностей:

Имеется две урны, в первой 2 белых и 3 чёрных шара, во второй - 4 белых и 2 чёрных шара. Из каждой урны вынимается по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара будут одного и того же цвета.

Решение:

Пусть А - оба шара одного цвета.

- белого - чёрного

- первый шар белый - первый шар чёрный

- второй шар белый - второй шар чёрный

Дата добавления: 2014-01-14