Понятие случайной величины. Законы распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины

Теорема гипотез (Формула Бейеса).

Теорема:

До опыта можно сделать n гипотез , таких что

(условие полной группы)

(условие несовместности)

Вероятность гипотез до опыта:

(априорные вероятности).

Опыт произведён. Произошло событие А.

Найти (апостериорные) вероятности гипотез при условии, что опыт дал результат А:

Формула Бейеса:

Возьмём любую

Из правила умножения вероятностей:

Делим на , получаем

Теперь подставим формулу полной вероятности для , получаем

Ввиду произвольности i эта формула подходит любой гипотезе.

Пример:

Имеется три урны: В первой - 3 белых и 1 чёрный, во второй - 2 белых и 3 чёрных и в третей - 3 белых. Человек произвольно подходит к одной из них и вынимает один шар. Шар оказался белым.

Найти после опытные (апостериорные) вероятности того, что шар вынут из 1 - й, 2 - й, 3 - й урны.

Решение:

А - вытащили белый шар.

- выбрана первая урна.

- выбрана вторая урна.

- выбрана третья урна.

Априорные вероятности:

Условные вероятности события А при гипотезах ,,:

По формуле Бейеса:

Апостериорные вероятности гипотез:

Таким образом в свете информации о появлении события А вероятности гипотез изменились: самой вероятной стала 3 - я гипотеза, наименее вероятной - 2 -я гипотеза.

Глава 3 Случайные величины, их законы распределения.

Опр. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение.

Опр.Множеством возможных значений случайной величины - называется множество всевозможных значений, которые может принимать с. в. в результате опыта.

Обозначим: – случайная величина

– i - ое возможное значение с. в.

Примеры:

1). количество очков при бросании игральной кости:

2). Количество студентов на паре

3). время работы отремонтированного станка:

Опр.Дискретная с. в. - это с. в. множество значений которой счётно.

В противном случае с. в. - не дискретная.

В примерах 1) и 2) из выше перечисленных с.в.– дискретны, а пример 3) - с.в.– непрерывна.

Опр.Законом распределения с. в. - называется любое правило (таблица, функция) позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со с. в.

Опр.Рядом распределения с. в. называется таблица. в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания всевозможные значения с. в. : , а в нижней - вероятности этих значений: , где

Замечание:

Ряд распределения является законом распределения, т.к. в его таблице уже содержатся вероятности событий связанных с ему соответствующей с.в.

Пример:

Рассматривается работа трёх независимо работающих тех. устройства (ТУ); вероятность того, что первое ТУ работает нормально - 0.2, второго - 0.4, третьего - 0.5.

С. в. Х - число работающих ТУ. Построить ряд распределения с. в. Х.

Решение:

Возможные значения с. в. Х: 0, 1, 2, 3.

Обозначим “ + “ - нормальная работа ТУ,

“ - “ - наоборот.

Геометрическая интерпретация.

Опр. Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Рис. Многоугольник распределения

3.2 Функция распределения случайной величины. Её свойства.

Опр.Функцией распределения с. в. называется вероятность того, что она примет значение меньшее чем заданное .

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что с. в. попадёт левее заданной т. .

Основные свойства функции распределения:

1). - неубывающая функция от своего аргумента, т. е. при

2).

3).

Доказательство:

Рассмотрим две точки

Возьмём событие где и

По правилу сложения несовместных событий (А и В)

или

а т. к.

Заключение:

Функция распределения любой с. в.есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1:

причём и

Вероятность попадания на участок через функцию распределения:

т. е. вероятность того, что с. в. Х в результате опыта попадёт на участок от до (включая ) равна приращению функции распределения на этом участке.

Выражение для вероятности отдельного значения с. в. через ф. р.

Замечание:

Значение этого предела зависит есть ли в т. у функции разрыв. Если нет, то предел равен 0. Если же есть, то предел равен высоте скачка.

Дата добавления: 2014-01-14