Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства

Линейные (векторные) пространства.

Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции:

1) сложение: для любых х, у Є L сумма (х + у) Є L,

2) умножение на число: для любого х Є L и любого числа λ произведение

λх Є L,

которые удовлетворяют 8 аксиомам:

1) х + у = у + х, где х,у Є L;

2) (х + у)+z = x+(у + z), где х,у,z Є L;

3) существует нулевой элемент Ө такой, что Ө + х = х, где х Є L;

4) для любого х Є L существует единственный противоположный элемент

(–х) такой, что х + (-х)= Ө;

5) 1·х = х, где х Є L;

6) α(βх) = (αβ)х, где х Є L, α и β- числа;

7) α(х + у) = αх + αу, где х,у Є L, α- число;

8) (α + β) х = αх + βх, где х Є L, α и β- числа.

Замечание: Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами.

Примеры:

Множество действительных чисел является линейным пространством.

Множества всех векторов на плоскости и в пространстве являются линейным пространством.

Множество всех матриц одного размера является линейным пространством.

Дана в линейном пространстве система векторов а1, а2, а3, … аn Є L.

Определение: Вектор α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn Є L, где αi (i = 1,…,n) - числа, называется линейной комбинацией(ЛК) векторов а1, а2, а3, … аn.

Определение: Система векторов линейного пространства а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно независимой (ЛНЗ), если линейная комбинация

α1 а1+ α2 а23 а3+…+ αn аn=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты

α 1 2 3 =…=α n=0.

Определение: Система векторов а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α1, α2 3 … αn, не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn= 0.

Примеры:

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой.

1) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ =0 .

α2а2
α1а12а2

а1 α1 а1

Два ненулевых, не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

2) Рассмотрим два ненулевых , коллинеарных вектора а1 ║а2.

а1
а2

 

Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.

Теорема 1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.

Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор этой системы был линейной комбинацией всех остальных.



Док-во: Необходимость ( ).

Дана ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех остальных.

а1, а2, а3, … аn – ЛЗ система векторов, т.е. среди α1, α2 3 … αn существует число отличное от нуля так, что ЛК α1 а1+ α2 а23 а3+…+ αn аn= 0.

Положим для определения, что коэффициент α1 ≠ 0. Разделим обе части последнего равенства на α1 ≠ 0:

;

.

Отсюда следует, что а1 - ЛК остальных векторов.

Необходимость доказана.

Достаточность ( ).

Пусть один вектор – это линейная комбинация остальных. Нужно доказать, что система векторов ЛЗ.

Пусть αn = α1 а1+ α2 а23 а3+…+ αn-1 аn-1.

α1 а1+ α2 а23 а3+…+ αn-1 аn-1- 1αn = 0.

Так как есть не нулевой коэффициент, то система векторов а1, а2, а3, … аn- линейно зависима.

Ч.т.д.

Теорема 2. Система, содержащая нуль-вектор, линейна зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов, содержащую нуль-вектор. а1, а2, а3, … аn, где Ө ‒ нуль-вектор. Очевидно, что имеет место следующее равенство 0·а1+ 0· а2+0· а3+…+ 5·Ө = 0.

Есть не равный нулю коэффициент, равный 5, а линейная комбинация равна 0, отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

Ч.т.д.

Теорема 3. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, тоже будет линейно зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов а1, а2, …,ак, ак+1 … аn, где а1, а2,…, ак - линейно зависимый кусочек. α1 а1+ α2 а2+ … +αкак= 0. Есть коэффициент отличный от нуля.

Очевидно, что с этими же коэффициентами будет выполняться равенство

α1 а1+ α2 а2+…+αк ак+…+0· ак+1+…+ 0·αn = 0.

Отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства

Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 392; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.144.39.205
Генерация страницы за: 0.092 сек.