Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Сходящиеся и ограниченные последовательности.

Последовательность. Предел последовательности.

Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).

Задают числовую последовательность с помощью общего члена x_n.

{x_n} - числовая последовательность с общим членом x_n.

Например: {x_n}={2;3;4;5;…}, x_n=n+1;

{a_n}={1;1/2;1/3;…}, a_n=1 ;

{b_n}={-1;1;-1;1,…}, b_n=(-1)ⁿ.

1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности {x_n}, при n стремящемся к бесконечности (n®¥), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от, начиная с которого выполняется неравенство |x_n–a|<e.

Û" e>0 $ N(): " n>N, выполняется |x_n–a|<e.

(a-e; a+e) ‒ e-окрестность точки a.

2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {x_n} при n®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в e- окрестности точки a.

Пример: Покажем по определению, что пределом числовой последовательности {x_n} с общим членом x_n=, является число a=0, то есть.

Возьмем сколь угодно малое положительное e. Попробуем найти такой номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство

| – 0|<e. " e>0 $ N: "n>N выполняется | - 0|<e. Снимаем модуль –0<e. Если перевернуть обе части неравенства, то перевернем знак: n>. В качестве N берется целая часть: N=[ ].

3), если "A>0 $N: "n>N выполняется x_n>A.

, если "A<0 $N: "n>N выполняется x_n<A.

, если "A>0 $N: "n>N выполняется |x_n| > A.

Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.

- число.

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Определение: Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что для всех членов последовательности x_n M.

Определение: Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что для всех членов x_n³m.

Определение: Последовательность называется ограниченной, если она ограниченна сверху и снизу, т.е. $ число A>0 такое, что для всех членов последовательности |x_n|£A.

Связь между ними.

Определение: Последовательность {x_n} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от, начиная с которого выполняется неравенство |x_n|<e.

.

Определение: Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, для любого, сколь угодно большого, положительного числа А, найдется номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство |x_n|>A.

.

Теорема: Бесконечно малые (б/м) и бесконечно большие (б/б) последовательности взаимообратные.

Док-во:

1) б/б есть обратная величина для б/м.

Пусть {x_n} – б/м при n®¥. По определению: " > $N: "n>N Þ |x_n|<e.

Перейдем к обратным величинам:. Обозначим. Если e – б/м, то А – б/б. Тогда, что означает из определения, что – б/б.

2) б/м есть обратная величина для б/б.

Пусть {x_n} ‒ б/б при n®¥. По определению: "A>0 $N: "n>N Þ |x_n| > A.

Перейдем к обратным величинам:. Обозначим. Если А – б/б, то e – б/м. Тогда, что означает из определения, что ‒ б/м.

Ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-15