Червячная передача

Лекция №11

Производная функции, заданной параметрически.

Производная неявной функции.

Производная степенной функции.

Логарифмическое дифференцирование.

Производная обратной функции.

Производная сложной функции.

Производные логарифмической и показательной функций.

Производные обратных тригонометрических функций.

Производные тригонометрических функций.

1).

= =. Þ.

2).

Доказывается аналогично первому:.

3).

= = Þ.

4) y=ctg x..

1) y=arcsin x..

2) y=arccos x..

3) y=arctg x..

4) y=arcctg x..

1..

= = = = следствие из второго замечательного предела = =

´=.

2.. y=.

= =.

.

3..

= = = =

= =.

.

4. y=е^x.

.

.

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке t₀, а функция имеет производную в точке. Тогда производная сложной функции в точке t₀ будет равна:

.

Пример:,

Теорема. Пусть функция монотонна на интервале (a,b) (возрастает или убывает) и имеет производную в каждой точке этого интервала. Если в точке x₀, то обратная функция также имеет производную в соответствующей точке y₀, причем

.

Пусть функция.

Прологарифмируем эту функцию по основанию e:.

Возьмем производную левой и правой части равенства, считая y функцией от x:.

Þ производная правой части:.

Выразим отсюда y¢.

Описанный прием называется логарифмическим дифференцированием.

.

;;;;

Уравнение F(x,y)=0 задает y, как неявную функцию от x.

Пример: (– явное задание функции).

Чтобы продифференцировать функцию, заданную неявно, нужно взять производную левой и правой части уравнения, считая y функцией от x. Затем выразить из этого уравнения y¢.

Пример:;;;; – производная.

Функция задана параметрически, если зависимость y от x осуществляется с помощью параметра t:, где tÎT.

Пример: ‒ параметрическое уравнение окружности с центром C(0,0) и радиусом R.

‒ параметрическое уравнение эллипса, где a и b большая и малая полуоси.

Вычисление производных функции, заданной параметрически:

Чтобы получить явную зависимость y от x, нужно из системы исключить параметр t. Для этого предполагаем, что для функции на промежутке t существует обратная функция. Тогда – сложная функция. Продифференцируем:.

;.

Используется для передачи вращения между перекрещивающимися осями.

Обычно угол скрещивания осей равен 90 ^◦ (рис.11.1). Различают передачи с цилиндрическим червяком (рис.11.2а) и с глобоидным червяком (рис.11.2б).

В зависимости от направления линии витка червяки бывают правые (рис.11.1 и, 11.2) и левые. Если червяк (рис.11.1) сделать левым, то направление угловой скорости колеса изменится.

Рис.11.1 Рис.11.2 а Рис.11.2б

В зависимости от формы витка цилиндрические передачи бывают:

а) архимедовы – в торцевом сечении профиль витка очерчен по архимедовой спирали;

б) эвольвентные- в торцевом сечении профиль витка очерчен по эвольвенте окружности;

в) конволютные- в торцевом сечении профиль витка очерчен по удлинённой или укороченной эвольвенте.

Цилиндрические червяки нарезаются на токарно-винторезных станках резцом, имеющим профиль трапеции (рис.11.3).

Если режущие кромки резца (плоскость АА) проходят через ось червяка, то получается архимедов червяк: в торцевом сечении профиль витка очерчен по архимедовой спирали, а в осевом сечении профиль витков будет соответствовать профилю инструментальной рейки(рис.8.3). Такие червяки наиболее просты ву изготовлении.

Рис.11.3

Если резец развернуть на угол перпендикулярно линии зуба (положение 2), то получается конволютный червяк. Конволютные червяки применяют при больших углах подъёма винтовой линии ^.

При нарезании эвольвентного червяка одна режущая кромка смещается вниз от оси на величину радиуса основного цилиндра эвольвенты, а другая- вверх на ту же величину. Их достоинство в возможности шлифования профилей инструментом с плоской производящей линией.

Дата добавления: 2014-01-15