Операции суммирования

Элементы математической статистики

Напомним основные правила работы с массивами чисел и основные формулы математической статистики, которые потребуются нам в дальнейшем изложении курса.

Пусть величина Х задается последовательностью данных Х₁, Х₂, …, Х_n, каждое из которых можно записать как Х_i, i = 1,, n.

Сумма этих чисел записывается следующим образом:

.

Если из текста понятно, какие начальные и конечные суммируемые члены, то можно использовать сокращенное обозначение:

.

Обозначим:

- среднее значение величины Х.

Правила суммирования (а, b – константы):

1. Σа = na.

2. ΣaХ_i = aΣХ_i = an`Х.

3. Σ(a+bХ_i) = na+bn`Х.

4. Σ(Х_i+У_i) = ΣХ_i + ΣУ_i = n(`Х + `У).

5. Σ(Х_i-`Х)=0.

6. .

7. .

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенное среднее всех ее возможных значений, причем в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода.

Предположим, что Х может принимать n конкретных значений

(Х₁, Х₂, …, Х_n) и что вероятность получения Х_i равна p_i, тогда

М(Х) = Х₁р₁ +Х₂р₂+…+Х_np_n = ΣХ_ip_i.

Если р_i = n_i/n, i = 1, 2, …, k, где Σn_i = n, то

М(Х) = Х₁р₁ +Х₂р₂+…+Х_kp_k = (Х₁n₁ +Х₂n₂+…+Х_kn_k)/n =

= (ΣХ_in_i)/n = `X.

Если n_i = 1 для каждого i= 1, 2, …, n, то

М(Х) = (Х₁ +Х₂+…+Х_n)/n = (ΣХ_i)/n = `X.

Свойства математического ожидания:

(а, b – константы; Х, У – случайные величины; р – вероятность случайной величины)

1) М(а) = а;

2) М(аХ) = аМ(Х);

3) М(а+bX) = a + bM(X);

4) M(X + У) = М(Х) + М(У);

5) М(ХУ) = М(Х) М(У), при условии, что Х и У не связаны между собой;

6) математичемкое ожидание функции f(X) определяется выражением:

М(f(X)) = Σf(X_i)p_i.

Например, если f(X) = X² , то М(f(X)) = М(Х²) = ΣХ_i² p_i.

Свойства дисперсии:

* Дисперсия для генеральной совокупности

σ² = D(X)=M(X_i-`X)²;

a, b – константы, Х – случайная величина

1) D(a) = 0;

2) D(aX) = a²D(X);

3) D(a+bX) = b²D(X).

* Дисперсия для выборочной совокупности

Var(X) = .

Выборочная дисперсия var(X) является смещенной оценкой генеральной дисперсии σ ², при этом

М[Var(X)] = .

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина

S² =

1) Var(a) = 0;

2) Var(aX) = a²Var(X);

3) Var(a+bX) = b²Var(X).

Дата добавления: 2014-01-15