Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства

Системы резервного копирования данных

В современном бизнесе наличие системы резервного копирования данных является обязательным условием слаженной работы IT-инфраструктуры. От того, насколько оптимально решается эта задача, зависит работа отдельных сотрудников и компании в целом. Поэтому повсеместно, на любом предприятии малого и большого бизнеса, используется комплекс организационных и технических мер по созданию и хранению резервных копий.

Основное требование, которому должна отвечать система резервного копирования данных – возможность в короткие сроки и в полном объеме восстановить утерянную информацию. Кроме того, она должна быть надежной, простой в использовании, максимально автоматизированной и быстро внедряемой.

Надежность системы резервного копирования определяется возможностью точного копирования необходимого объема информации и полного восстановления. Автоматизация и простота в использовании – залог быстрого восстановления утраченных данных.

В некоторых случаях возникает потребность замены уже существующей системы резервного копирования на новую. Это непростая задача, поскольку после продолжительного использования одной системы, периодически появляется необходимость прочтения ее архивных файлов. Для этого нужно частично использовать старую или с помощью дополнительных программ конвертировать архивные файлы в формат, совместимый с внедряемой. Поэтому система резервного копирования должна быть универсальной, но четко соответствующей потребностям компании.

Универсальность особенно важна в случае быстро растущих компаний и определяется возможностью полнофункционального использования системы резервного копирования данных даже при условии расширения IT-инфрасети. К сожалению, самостоятельно разработанные системы уступают коммерческим решениям несоответствием этому критерию, отсутствием постоянной техподдержки и полной документации. Поэтому в большинстве случаев используются лицензионные версии, обеспечивающие бесперебойную работу и при необходимости высокий уровень профессиональной технической помощи.

Определение 1. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

, где a_ij P, i =, j =.

Определение 2. Квадратной матрицей n-го порядка над полем P называется матрица размера n×n над полем P.

Пусть A – квадратная матрица n -го порядка. Тогда в А выделяют 2 диагонали: главную и побочную.

главная побочная

Матрицы обозначаются следующим образом: А =(a_ij) или А =|| a_ij ||, i=, j=.

Определение 3. Элементы a_ii квадратной матрицы А =(a_ij) называются диагональными, или элементами главной диагонали.

Определение 4. Квадратная матрица А =(a_ij) называется диагональной, иливсе ёё элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю: a_ii ≠ 0, a_ij =0 при i≠j.

Через А_i будем обозначать i-ю строку матрицы А, т.е. А_i=(a_i1 a_{i1 …} a_in), через А^j – j-й столбец матрицы А, т.е. А^j =.

Определение 5. Матрица А =(a_ij), i=, j= называется треугольной (верхней треугольной), если a_ij=0 при i > j.

Строку или столбец матрицы А называют нулевыми, если все их элементы равны нулю.

Определение 6. Матрица А =(a_ij), i=, j= называется ступенчатой (матрицей ступенчатого вида), если во всех ее строках вторые индексы первых слева ненулевых элементов возрастают j₁ < j₂ <…< j_i.

Из определения 6 следует, что ступенчатая матрица является треугольной, причем ее нулевые строки (если они есть) расположены ниже ее ненулевых строк.

Определение 7. Две матрицы A =(a_ij) и B =(b_ij) размера m×n над полем P называются равными, если a_ij=b_ij, i=, j=. Обозначается А=В.

Определение 8. Матрица над полем P называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Обозначается =.

Определение 9. Матрица n -го порядка вида называется единичной матрицей. Другими словами, единичная матрица — это диагональная матрица у которой все элементы главной диагонали равны 1: a_ii =1 для всех i.

Определение 10. Пусть A =(a_ij), B =(b_ij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой матриц А и В называется матрица С= (c_ij) размера m×n над полем Р, где c_ij=a_ij+b_ij, i =, j =, и обозначается С=А+В.

Теорема. Для любых матриц А, В и С размера m×n над полем P выполняются следующие свойства: 1) А+В=В+А; 2) А+(В+С)=(А+В)+С; 3) А+=+А=А; 4) для любой матрицы А над полем P существует матрица (-А) такая, что А+(-А)=-А+А=.

Доказательство. Так как сложение матриц сводится к сложению элементов поля Р, а в поле Р сложение коммутативно и ассоциативно, существует нулевой элемент и для каждого элемента есть противоположный, то эти свойства выполняются и для матриц.

Множество всех матриц размера m×n над полем P обозначается через М_m,n(Р). Из теоремы следует, что М_m,n(Р) является аддитивной абелевой группой.

Дата добавления: 2014-01-15