Непрерывность функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: Функция называется непрерывной в точке, если:

1. функция определена в точке x₀ и некоторой её окрестности;

2. функция имеет предел при x®x₀;

3. предел функции при x®x₀ совпадает со значениями функции в этой точке,

(1)

Так как, то равенство (1) можно переписать в виде, это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию вместо аргумента подставить его предельное значение.

Например:. Функция и предел поменялись местами в силу непрерывности функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Функция называется непрерывной в точке х₀, если её односторонние пределы при равны между собой и совпадают со значением функции в этой точке.

(2)

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: Функция называется непрерывной в точке, если определена в точке x₀ и некоторой её окрестности и выполняется равенство:, т.е бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Для исследования на непрерывность применяют либо первое либо второе определение.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в интервале и в точке непрерывна справа, т.е., а в точке непрерывна слева, т.е..

ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется по крайне мере одно из условий первого определения непрерывности функции.

1. Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Например: не определена в точке.

2. Функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела при. Например: функция определена в точке, однако в этой точке имеет разрыв, т.к. эта функция не имеет предела при:

и.

3. Функция определена в точке и ее окрестности, существует, но этот предел не равен значению функции в точке:

Например:

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точки разрыва первого рода: если в точке существуют конечные пределы функции справа и слева (односторонние пределы), т.е. и, при этом:

1. если, то точка называется точкой устранимого разрыва

2. если, то точка называется точкой конечного разрыва (или неустранимого разрыва). Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точки разрыва второго рода: точка - называется так, если по крайне мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример: Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при.

Рис. График функции

Пример: Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при.

Рис. График функции

Пример. Возьмём. Все точки области определения этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку не входит в область определения функции, но определена во всех точках любой проколотой окрестности 0, то 0 -- точка разрыва функции.Мы можем доопределить эту функцию при, положив, тогда функция становится непрерывной в точке 0. Значит, 0 -- точка разрыва первого рода для функции.

Рис. Устранимый разрыв функции

Пример: Рассмотрим функцию. Её область определения состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка, в которой функция не определена, -- это точка разрыва функции. Поскольку при, то. Это означает, что при функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить.

Рис. Устранимый разрыв функции

Пример: Рассмотрим функцию; её область определения, и точка - точка разрыва. Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва. При будет и; при будет и. Итак, значения предела "на правом берегу" разрыва не существует, и разрыв функции в точке -- второго рода.

График функции

Пример: Рассмотрим функцию, для которой

Функция имеет разрывы при и при. Нетрудно видеть, что при

В точках и функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке имеем:

(значения на краях разрыва существуют, но не совпадают); в точке --

(снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают).

Рис. График функции

Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций.

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)

Теорема 2: Пусть функции непрерывна в точке, а функция непрерывна в точке. Тогда сложная функция, состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке.

Теорема 3: Если функция непрерывна и строго монотонна на оси, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется функция, которая получена путем применения конечного числа арифметических операций и суперпозиций к основным элементарным функциям. Поэтому из вышеприведенных теорем следует, что все элементарные функции, непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Теорема (Вейерштрасса): Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Дата добавления: 2014-01-15