Свойства ПФ

Рассмотрим свойства функции выпуска одного продукта y = f (х, а), допускающих замещение одного ресурса другим. Эти свойства имеют под собой экономическое обоснование.

1) Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного незаменимого ресурса:

f (0, х ₂, …, х_n) = 0;

f (х ₁, 0, …, х_n) = 0;

f (х ₁, х ₂, …, 0) = 0;

Каждый из ресурсов необходим хотя бы в малых количествах. Его полное отсутствие не может компенсироваться другими ресурсами.

2) Свойство монотонности. При увеличении затрат ресурсов выпуск продукции не уменьшается. Это означает, что предельные эффективности ресурсов (предельные продукты) неотрицательны:

, i=1,..., n. (10)

Данное свойство выполняется не всегда. Например, при возрастании количества удобрений, приходящихся на единицу площади, производство зерна сначала растет, а затем начинает снижаться.

Для ПФ, не удовлетворяющих этому свойству, применяется понятие экономической области, внутри которой ресурсы используются в различных сочетаниях.

Для функции выпуска y = f (х), имеющей непрерывные производные, границами экономической области являются разделяющие поверхности вида .

3) Закон убывающей доходности (отдачи). По мере увеличения одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность его использования не возрастает. Иначе, увеличение затрат одного вида ресурса при постоянном уровне затрат других ресурсов приводит к меньшему приросту выпуска продукции. Математически это свойство выглядит так:

, i=1,..., n. (11)

Для ПФ вида y = х^а это условие означает, что рост вооруженности средствами производства приводит к росту выпуска продукции, но темп этого роста все время падает. В случае экстенсивного роста производства (только за счет количества ресурсов без повышения эффективности их использования) каждая следующая единица ресурса, количество которого возрастает, соединяется со все меньшим приходящимся на нее количеством других ресурсов, и тогда эффективность использования этого ресурса уменьшается.

Вместо условия (11) используется другое математическое требование, близкое к (11) по смыслу.

Если y = f (х) – выпуклая вверх функция, для значений любых двух неотрицательных векторов x ^* и х ^** и любого числа ає[0,1] справедливо неравенство:

f(a x ^* + (1-а) х ^**) ≥ af(x ^*) + (1-a)f(x ^**). (12)

Если функция y = f (х) дважды непрерывно дифференцируема, условие выпуклости (12) соответствует требованию неположительной определенности квадратичной формы при всех положительных значениях вектора ресурсов х:

. (13)

Если используется единственный ресурс, а функция y = f (х) – гладкая, то требования (11), (12) и (13) равносильны.

Если ресурсов несколько, то (11) не эквивалентно (12) или (13), т.е. не эквивалентно выпуклости вверх функции f (х).

4) Свойство однородности – описывает реакцию ПФ на изменение затрат. ПФ характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства, т.е. изменения выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов (t х).

Функция f (х) называется однородной функцией степени δ, если для любого вектора х и любого скаляра t выполняется:

f (t х)= t ^δ f (х). (14)

Параметр t характеризует масштаб изменения производства; δ – степень однородности ПФ (эффект от изменения масштабов производства). При δ>1 имеет место возрастающая отдача от расширения масштабов производства, при δ=1 – постоянная отдача, при δ<1 – убывающая отдача.

Характеристикой однородности ПФ (изменения выпуска продукции при изменении масштаба производства) является эластичность производства ε(х):

(15)

– производная по параметру t.

Показатель ε(х) характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштаба производства на 1% при данной структуре ресурсов.

Найдем величину ε(х) для однородной ПФ вида f (t х)= t ^δ f (х):

То есть получаем ε(х)=δ.

Существует связь между эластичностью производства ε(х) и эластичностями выпуска по отношению к изменению затрат ресурсов ε _i (х). Для установления этой связи используем:

, (16)

тогда

(17)

Таким образом, эластичность производства в некоторой точке пространства ресурсов равна сумме эластичностей выпуска по ресурсам в этой точке: .

В случае одного ресурса эластичность производства совпадает с эластичностью выпуска по ресурсу: .

Для линейно-однородной ПФ вида f (t х)= t ^δ f (х) связь между эластичностью производства ε(х) и эластичностями выпусков по ресурсам имеет вид:

. (18)

Рассмотрим ПФ, удовлетворяющие всем четырем свойствам.

Возьмем t, удовлетворяющий условию 0 < t < 1. Из условия (12) получаем:

f (t x + (1- t)·0) ≥ t f (x) + (1- t) f (0)

Поскольку в силу (9) f (0)=0, то f (t x) ≥ tf (x).

С использованием соотношения (14) получаем δ ≤ 1:

f (t x)= t ^δ f (х) ≥ tf (x) => t ^δ ≥ t => при 0< t <1 δ≤1.

То есть, для выпуклых вверх ПФ имеет место невозрастающая отдача от расширения масштаба производства.

Используя связь эластичностей (18) () и условие неотрицательности эластичностей выпуска по ресурсам (), получим ограничение по эластичности выпуска:

. (19)

Таким образом, в основе ПФ лежат свойства (предположения):

Математическое предположение: функция задана при всех неотрицательных значениях составляющих вектора х и является непрерывной или нужное число раз дифференцируемой функцией своих аргументов.

Экономические предположения:

1. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса

f (0, х ₂, …, х_n) = 0

2. При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается

3. По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает (выпуклость вверх).

4. ПФ характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства (однородность функции):

f (t x)= t ^δ f (х).

5. Возможности замещения ресурсов

Рассмотрим ПФ с двумя ресурсами:

, 0< а <1. (20)

y – объем конечной продукции народного хозяйства,

х₁ – общее количество основных фондов,

x₂ – общее количество трудовых ресурсов.

Для нее δ=1. Поэтому в данном случае можно построить функцию, которая будет показывать объем продукции на 1 трудящегося: ,

– фондовооруженность – отношение объема основных фондов к численности трудящихся.

Характеристикой возможности взаимного замещения ресурсов является изокванта. Изокванта – совокупность таких сочетаний ресурсов, при которых может быть произведено одно и то же определенное количество продукции у₀:

(21)

Рассмотрим в пространстве ресурсов произвольный луч, исходящий из начала координат и лежащий в положительном ортанте. Данному лучу соответствует множество точек:

х ⁰ – положительный единичный направляющий вектор (орт).

Точкам луча L соответствует выражение:

f(х)=f(t x ⁰)=t^δf(х ⁰)

Если при t = t ₀ выполняется y ₀ =t ₀^δ· f (х ⁰), тогда луч L будет пересекаться с изоквантой Q(y₀) в точке x ^*= t ₀ х ⁰.

В точках луча t х ⁰, лежащих к началу координат ближе, чем точка x ^* (т.е. при t < t ₀), будет у < у₀. В точках луча, лежащих от начала координат дальше, чем точка x ^* (при t > t ₀), имеем у > у₀.

Свойства изоквант:

□ изокванты не пересекаются друг с другом;

□ изокванта Q(y₀) разбивает неотрицательный ортант пространства ресурсов на 2 множества: в одном из которых у < у₀, в другом у > у₀, причем граница между этими множествами проходит по изокванте Q(y₀);

□ большему выпуску продукции соответствует изокванта, более удаленная oт начала координат;

□ изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Одна из изоквант производственной функции изображена на рисунке. Луч L представлен на рис.1 линией OA.

Рис. 1

Изокванта Q(y₀) представляет собой зависимость x ₂(x _l).

Неявный вид уравнения изокванты x ₂(x _l):

Явный вид:

(22)

Изокванта x ₂(x _l) имеет смысл количества трудовых ресурсов x ₂, необходимых для получения заданного конечного продукта y ₀ в зависимости от использующегося объема основных фондов x _l, и является монотонно убывающей функцией.

Продифференцировав f (x) вдоль изокванты (), получим:

. (23)

Величина γ – предельная норма замещения одного ресурса другим. Она показывает, сколько высвобождается 2-го ресурса при увеличении затрат 1-го ресурса, если выпуск продукции остается неизменным.

Из условия (10) получается, что γ≤0 (γ имеет отрицательную величину), т.к. при уменьшении использования одного из ресурсов для сохранения выпуска продукции использование другого ресурса надо увеличить.

γ=tgφ ≤ 0 (рис.1). Угол φ и величина γ меняются при движении вдоль изокванты Q(y₀).

Для ПФ имеем:

. (24)

Т.е. предельная норма замещения труда основными фондами γ обратно пропорциональна фондовооруженности (x₁/x₂). Каждая новая единица основных фондов высвобождает определенное количество трудовых ресурсов.

Линии, соответствующие определенным значениям нормы замещения γ₀, называются изоклиналями ПФ с двумя ресурсами; для функции (20) изоклинали имеют вид:

Отношение x₂/x₁ характеризуется тангенсом угла ξ наклона изоклинали (x₂/x₁=tgξ).

На рис.2 для ПФ (20) представлены две изокванты Q(у ₀) и Q(у ₁) и три изоклинали γ₁, γ₂ и γ₃, где (-γ₁) > (-γ₂) > (-γ₃).

Рис.2

γ _i = tgφ _i, i = 1, 2, 3,

уравнения изоклиналей: , i = 1, 2, 3.

В данном случае (для однородных ПФ) изоклинали – лучи, исходящие из начала координат.

Относительной характеристикой скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты является эластичность замещения ресурсов σ(x₁,x₂):

(25)

Эластичность замещения ресурсов σ позволяет охарактеризовать возможность замещения ресурсов в целом. Она показывает, на сколько процентов изменится отношение ресурсов x₂/x₁ вдоль изокванты, если изменить предельную норму замещения γ на 1%. Чем больше σ, тем шире пределы замещения ресурсов друг другом.

Для ПФ (20) эластичность замещения ресурсов σ имеет геометрическую интерпретацию (рис.2): она показывает, на сколько процентов необходимо повернуть изоклиналь (т.е. изменить tgξ), чтобы tgφ изменился на 1%.

Другая форма представления эластичности замещения ресурсов:

Для ПФ (20) прологарифмируем предельную норму замещения :

получаем:

Дата добавления: 2014-01-15