Тема 3. Задачи о минимальном остове

Нахождение K путей минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Йена).

Путь с минимальным количеством промежуточных вершин (волновой алгоритм).

Процедура находит один из минимальных путей (здесь путей проходящих через минимальное количество вершин) в графе G = (V, E) заданном матрицей связности S. Путь ищется из вершины номер u1 к вершине номер u2. Процедура использует волновой алгоритм.

Волновой алгоритм заключается в следующем:

1.каждой вершине i приписывается два целых числа Ti - временная метка и Pi - метка предыдущей вершины пути (начальное значение Ti = 0, Pi = 0 для всех i) 2.заводятся два списка "фронта волны" NF и OF, а также переменная T (текущее время)

3.OF:= {u1}; NF:={}; T:= 1

4.для каждой из вершин i, входящих в OF, просматриваются соседние вершины j, и если Tj = 0, то Tj:= T, NF:= NF + j; в Pj заносится номер i.

5.если NF пусто, то путь не существует, переход к шагу 8;

6.если одна из вершин совпадает с u2, то найден кратчайший путь длины T, переход к шагу 8;

7.OF:= NF; NF:= {}; T:= T+1; возврат к шагу 4.

8.Восстанавливаем путь, проходя массив P.

В качестве OF, NF я использую массивы размера n (количество вершин в графе), некоторые языки (например, Pascal) позволяют работать с объектами типа множества, тогда правильнее использовать именно такую структуру для определения OF, NF, но для того чтобы не нарушать общности я все же остановился именно на массивах, которые присутствуют практически во всех языках программирования.

На выходе имеем переменную length, которая определяет длину пути (length равна -1 если пути не существует, length равна 0, если u1 = u2) и массив Path содержащий последовательность номеров вершин определяющих путь.

К сожалению, для данного алгоритма нет исходного кода. Это не ошибка и сообщать мне об этом не надо. Возможно, для алгоритма ещё не успели создать исходный код, или же при переносе алгоритма из старой версии библиотеки возникли проблемы с исходником и его написание пришлось отложить до лучших времен.

Алгоритм предназначен для нахождения К путей минимальной длины во взвешенном графе соединяющих вершины u1, u2. Ищутся пути, которые не содержат петель. Алгоритм прислал Pavel Mikheyev.

Итак задача состоит в отыскании нескольких минимальных путей, поэтому возникает вопрос о том чтобы не получить путь содержащий петлю, в случае поиска одного пути минимального веса, это условие выполняется по необходимости, в данном же случае мы используем алгоритм Йена, позволяющий находить K кратчайших простых цепей.

Работа алгоритма начинается с нахождения кратчайшего пути, для этого будем использовать уже описанный алгоритм Дейкстры. Второй путь ищем, перебирая кратчайшие отклонения от первого, третий кратчайшие отклонения от второго и т.д. Более точное пошаговое описание:

1.Найти минимальный путь P1 = (v 11,..., v 1L[1]). Положить k = 2. Включить P1 в результирующий список.

2.Положить MinW равным бесконечности. Найти отклонение минимального веса, от (k–1)-го кратчайшего пути Pk-1 для всех i = 1, 2,..., L[k-1], выполняя для каждого i шаги с 3-го по 6-й.

3.Проверить, совпадает ли подпуть, образованный первыми i вершинами пути Pk-1, с подпутем, образованным первыми i вершинами любого из путей j = 1, 2,..., k–1. Если да, положить W[v k-1i, v ji+1] равным бесконечности в противном случае ничего не изменять (чтобы в дальнейшем исключить получение в результат одних и тех же путей).

4.Используя алгоритм нахождения кратчайшего пути, найти пути от v k-1i к u2, исключая из рассмотрения корни (v k-11,..., v k-1i) (чтобы исключить петли), для

этого достаточно положить равными бесконечности элементы столбцов и строк матрицы W, соответствующие вершинам входящим в корень.

5.Построить путь, объединяя корень и найденное кратчайшее ответвление, если его вес меньше MinW, то запомнить его.

6.Восстановить исходную матрицу весов W и возвратиться к шагу 3.

7.Поместить путь минимального веса (MinW), найденый в результате выполнения шагов с 3 по 6, в результирующий список. Если k = K, то алгоритм заканчивает работу, иначе увеличить k на единицу и вернуться к шагу 2.

Алгоритм использует массив p для результирующего списка путей, и массив length для хранения соответствующих длин, при этом, если, начиная с некоторого i элементы length[i] равны -1, значит, существует только i-1 кратчайших путей без петель.

Дата добавления: 2014-01-15