Алгоритм обратной прогонки

Рекуррентные соотношения для процедур прямой и обратной прогонки.

Фермеру принадлежит стадо овец, насчитывающее k голов. Один раз в год фермер принимает решение о том, сколько овец продать и сколько оставить. Прибыль от продажи одной овцы в і-м году составляет pi. Количество оставленных в i-м году овец удваивается в (1+1)-м году. По истечении п лет фермер намеревается продать все стадо.

Этот чрезвычайно простой пример приводится для того, чтобы наглядно продемонстрировать преимущества алгоритма обратной прогонки по сравнению с алгоритмом прямой прогонки. Вычислительные схемы процедур прямой и обратной прогонки обладают различной эффективностью в случаях, когда этапы модели нумеруются в некотором специальном порядке. Такая ситуация имеет место в приводимом примере, где этап j ставится в соответствие году j, т. е. этапы должны рассматриваться в хронологическом порядке.

Сначала построим рекуррентные соотношения для процедур прямой и обратной прогонки, а затем проведем сравнение двух вычислительных схем. Важное различие между двумя формулировками непосредственно следует из определения состояния.

Обозначим количества оставленных и проданных в j-м году овец через xj и yj, соответственно. Положим Zj,=xj+yj. Из условий задачи следует, что

z1=2x0=2k,
zj=2xj-1,j=l,2,...,n. Состояние на этапе j можно описать с помощью переменной zj, которая выражает количество имеющихся к концу этапа j овец для распределения на этапах j+1, j+2,..., n, или с помощью переменной xj, которая выражает количество имеющихся к началу этапа j+1 овец, обусловленное принятыми на этапах 1,2,...,j решениями. Первое определение ориентировано на построение рекуррентного соотношения
для процедуры обратной прогонки, тогда как второе определение приводит к использованию алгоритма прямой прогонки.

Обозначим через fi(zi) максимальную прибыль, получаемую на этапах j,j+1,…,n, при заданном zj. Рекуррентное соотношение имеет следующий вид:

Заметим, что yj и zj - неотрицательные целые числа. Кроме того, уj (количество овец, проданных в конце периода j) должно быть меньше или равно zj. Верхней границей для значений zj, является величина 2jk (где k- исходный размер стада), которая соответствует отсутствию продажи.

Дата добавления: 2014-01-15