Проверка на стационарность

Взятие последовательной разности

Тренд

Рассмотрим следующий временной ряд:

y_t = α + bt + ε_t (1)

Здесь ряд представлен в виде композиции детерминированной составляющей α + bt (линейный тренд) и случайной составляющей ε_t, являющейся стационарным временным рядом с нулевым средним. Часто встречаются и другие примеры тренда: квадратичный α + bt + gt²; экспоненциальный αе^bt и т.п.

Для того чтобы выделить тренд в модели (1) и ей подобных, можно применить обычную технику оценивания параметров регрессионных уравнений, считая t независимой переменной. После этого мы получим ряд остатков, для описания которого можно будет применить модели стационарных временных рядов.

Сезонность

В экономических данных часто встречается сезонная компонента. Например, в квартальных данных может наблюдаться сезонная компонента с периодом 4:

y_t = S(t) + ε_t, S(t + 4) ≡ S(t) (2)

Здесь ряд y_t представлен в виде композиции периодической детерминированной составляющей S(t) (сезонная компонента) и случайной составляющей ε_{t ,} являющейся стационарным временным рядом с нулевым средним. Сезонную компоненту S(t) можно представить в виде

S(t) = b₁d_1t + b₂d_2t + b₃d_3t + b₄d_4t,

где d_i – фиктивные (бинарные) переменные для кварталов.

Для выделения сезонной компоненты мы можем применить методы оценивания параметров регрессий к уравнению

y_t =b₁d_1t + b₂d_2t + b₃d_3t + b₄d_4t + ε_t (3)

Часто модель (3) представляют в виде регрессии с ограничениями, включая в нее константу:

y_t =α +b₁d_1t + b₂d_2t + b₃d_3t + b₄d_4t + ε_t, Σb_i = 0 (4)

В (4) коэффициенты b_i представляют отклонение от среднего за год уровня в квартале i.

Как и в случае выделения тренда, методы моделирования стационарных временных рядов применяются далее к ряду остатков регрессии (3).

Случайное блуждание, описываемое выражением

y_t = y_t-1 + ε_t, t = 1,2,…,n,

является примером нестационарного временного ряда. Однако, если к нему применить операцию взятия последовательной разности, получим стационарный временной ряд:

z_t = Δy_t = y_t – y_t-1, z_t = ε_t.

Таким образом, применяя названные методы, можно получить из исходного временного ряда стационарный ряд. Остается вопрос, как по имеющимся наблюдениям определить, является ли ряд стационарным.

1. Посмотреть на график полученных наблюдений. Возможно, он содержит очевидный на глаз тренд или периодичную компоненту. Также возможно. что разброс наблюдений возрастает или убывает со временем. Это может служить указанием на зависимость среднего или дисперсии от времени. В обоих случаях ряд будет, скорее всего, нестационарный.

2. Построить график выборочной автокорреляционной функции или коррелограммы

Коррелограмма стационарного временного ряда быстро убывает с ростом k после нескольких первых значений. Если же график убывает достаточно медленно, то есть основания предположить нестационарность ряда.

Дата добавления: 2014-01-15