Дифференцирование

5.1. Производная функции. Понятие дифференцируемой функции и её производной. Выражение производной функции в точке через предел. Производные тригонометрических, показательной, логарифмической и степенной функций. Геометрический и физический смысл производной.

Производная суммы, произведения, частного и композиции двух функций. Теорема о производной обратной функции. Производная порядка . Формула Лейбница (-я производная произведения двух функций).

5.2. Классические теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма и Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.

Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме, в формах Лагранжа и Коши. Ряд Тейлора. Представление показательной и тригонометрических функций в виде ряда Тейлора. Иррациональность числа . Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Примеры использования формулы Тейлора: неравенство Бернулли с вещественным показателем степени, бином Ньютона, исследование поведения сложных функций.

5.3. Степенные ряды. Комплексный степенной ряд. Теорема о сходимости комплексного степенного ряда в открытом круге. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема Коши --- Адамара. Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной. Формула Эйлера.

5.4. Исследование поведения функций. Признак монотонности функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции. Выпуклость функции и её признаки. Неравенство Бернулли. Точки перегиба функции. Асимптота графика функции при . Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.

5.5. Классические неравенства анализа. Неравенства Йенсена, Юнга, Гёльдера и Минковского.

Дата добавления: 2014-01-15