Конспект по математическому анализу

Основные понятия

Грани числовых множеств

Числовые последовательности

Непрерывная функция на промежутке

1. Осн. понятия

Мат.модель – любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.

Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал.

Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а –люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.

Некоторые числовые множества.

Мн-ва – первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.

Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х½ вып-ся усл S(x)}.

Подмн-ва – если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АÌВ. А=В- мн-ва совпадают.

Операции с мн - воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В.

АÇ В={х½хÎА и хÎВ} пересечение мн-в А и В.

А В={х½хÎА, но хÏВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А

Числовые мн-ва

R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {х½а<х<в} – интервал из R (открытый промежуток, т.к. не содержит границ)

[а,в] – замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки.

(а,в] – полуинтервал.

Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.

2. Грани числовых мн-в

Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.

Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с³х(х³с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым

Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.

Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.Точные грани числовых мн-вПусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х_*, то оно min мн-ва Х Пример Х=[0,1) то max[0,1) не $. min [0,1)=0

Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x_*

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.

Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел.

3. Числовые последовательности

Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, …,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти.

!Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.

Основные способы задан. посл-ти:

а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.

б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.

Пример:

а) xn=5n x1=5, x2=10

б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2,3… х2=-11, х3=-47

Ограниченные последовательности(ОП)

Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn£M "n (xn³m "n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.

Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема “Об единственности пределов”

Теорема “Сходящаяся последовательсность ограничена”

Теорема “О сходимости монотонной последовательности”

4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет.

Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N:½xn-a½< e

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.

Дата добавления: 2014-01-15