КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Перевод целых чисел из Р-й системы счисления в Q-ю
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. CXLVI, I, V, X, L, C, D, M. 0,1,2,3,4,5,6.7,8,9. Основные понятия. ЛЕКЦИЯ 3. системы счисления ВОПРОСЫ: 1. Основные понятия. 2. Двоичная система счисления. 3. Смешанные системы счисления. 4. Перевод чисел в системах счисления. Литература: [1], стр. 57 – 68. Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. При этом в любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы, которые называются базисными символами, а все остальные числа получаются в результате операций над базисными символами. В современном мире широко распространена десятичная система счисления, которая представлена десятью базисными символами: Получение любых других чисел обеспечивается за счет различного позиционного сочетания базовых символов, например число 1604 представлено всего четырьмя базисными символами, расположенными в соответствующих местах: 1 6 0 4 В римской системе счисления базисными символами являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 с соответствующими знаковыми обозначениями: При этом другие числа получаются сложением или вычитанием базисного символа по следующему алгоритму: · если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются; · если цифра слева меньше, чем цифра справа то левая цифра вычитается из правой цифры. Так, например, число 14610 десятичной системы счисления в римской системе счисления имеет вид: где С – 10010, XL -4010, VI - 610. Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных символов называются аддитивными. Например, римская система счислений. Системы счисления, в которых любое число представляется только позиционным весом базовой цифры, называются позиционными. Например, десятичная система, в которой значение цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, обозначающих число. При этом, система счислений основывается на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, а каждый разряд имеет вес равный степени 10.
Для числа 525,3510 цифра 5 повторена три раза, но каждый раз она означает различное число, а рассмотренное число можно представить следующим образом: 525, 35 = Таким образом, десятичная система записи любого числа Х10 в виде последовательности цифр имеет вид: и основывается на представлении этого числа в виде полинома , где каждый коэффициент может быть одним из базисных чисел. Определение. Число К единиц какого либо разряда, объединенных в единицу старшего разряда называется основанием позиционной системы. Так например, для десятичной системы объединением цифр 1 и 0 образуется старший разряд, т.е. основанием системы является число 10. Для двоичной системы К = 2, для троичной системы К=3, для восьмеричной системы К=8 и т.д. 2. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. В современной вычислительной технике, устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счислений, в которой для изображения числа используются только две базисные цифры: 0 и 1. При этом перевод числа в старший разряд определяется цифрой 2, которой в двоичной системе соответствует число 102. Таким образом, произвольное число Х в двоичной системе представляется в виде полинома следующего вида: , где каждый коэффициент может быть одним из базисных чисел 0 или 1. Так, например изображения чисел десятичной системы в двоичной системе имеет вид: 010 - 02 110 - 12 210 - 102 310 - 112 410 - 1002 510 - 1012 610 - 1102 710 - 1112 810 - 10002 910 - 10012, где цифры 2 и 10 при значении каждого числа указывают его систему счислений.
Таблица сложений для двоичной системы счислений имеет вид: 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=10 Таблица умножения в двоичной системе счислений имеет вид: 0х0=0 1х0=0 0х1=0 1х1=1 Так как в двоичной системе счислений при изображении любого числа используются только две цифры 0 и 1, то все электронные элементы ЭВМ могут находится только в дух состояниях: 1 - включено или 0 - выключено, а простота арифметических операций является причиной того, что современные ЭВМ используют двоичную систему счислений.
3. СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
Неудобство использования двоичной системы счисления из-за громоздкости записи чисел, особенно при разработке программ на машинном языке, привели к использованию восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления. В восьмеричной системе счисления базовыми цифрами являются: А запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами из базовых цифр. Например, число 8310 десятичной системы можно представить следующим образом: 8310 =6410+1610+310= = 1238 В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются цифры от 0 до 15. В этой системе для обозначения всех базисных цифр не хватает цифр десятеричной системы, поэтому для обозначения первых десяти цифр используют цифры десятичной системы от 0 до 9, а для обозначения последующих шести цифр используют буквы: 10-a, 11- b, 12- c, 13- d, 14 -e, 15-f. Поэтому, например, число десятичной системы 175,510 в шестнадцатеричной системе имеет вид: 175,510= 16010 + 1510+ 810/1610= = af,816 В ряде случаев, числа, заданные в одной системе счисления приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления. Например, десятичные числа, с которыми мы привыкли работать, необходимо переводить в двоичные, с которыми должна работать ЭВМ. В этих случаях используются смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент Р-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе. В такой системе Р называется старшим основанием, а Q - младшим основанием, а сама система счисления называется Q-Р-ичной.. Для того, чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, на представление любой Р-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления максимального числа Р-ичной системы.
Так, для изображения числа в двоично-десятичной системе необходимо отвести четыре двоичных разряда потому, что максимальная цифра десятичной системы 910 отображается числом двоичной системы 10012 , состоящей из четырех двоичных разрядов. Так например, число 19510 десятичной системы запишется в двоично-десятичной системе в виде: 0001 1001 01012-10 , где последовательные тетраэды (четверки) двоичных чисел изображают цифры 1, 9, 5, записи числа в десятичной системе счисления. При решении задач с помощью ЭВМ исходные данные задаются обычно в десятичной системе, полученные решения также представляются в десятичной системе, а непосредственно в машине они могут обрабатываться в двоичной или восьмеричной, или в другой системе счисления. Таким образом, возникает необходимость перевода чисел из одной системы в другую. 4. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ. При переводе чисел из одной системы счисления в десятичную систему счисления используют полином представления числа в Q-й системе счисления, а затем выполняют арифметические операции в десятичной системе счисления, например: Например: перевод числа шестнадцатеричной системы af416 в десятичную систему счисления: При обратном переводе чисел рассмотрим отдельно два случая перевода: целые и дробные числа. В соответствии с представлением целого числа в системе Р по основанию в системе Q имеем: Разделим правую и левую часть на Q в результате получим новую целую часть и дробную часть (остаток): Проделав тоже самое, но уже с новым целым числом , получим другой остаток и другое целое число, с которым продолжим выполнение предыдущих операций, пока в остатке не получится число . Чтобы достичь этого, исходное число необходимо разделить на Q s+1 раз. При этом получаемый остаток будет описывать число в новой системе счисления Q, начиная с младшего разряда. Пример: перевод число 9810 десятичной системы счислений в двоичную. 98: 2=49 остаток 0 (49х2=98; 98-98 =0)
49:2=24 остаток 1 (2х24=48; 49-48=1)
остаток 0 (2х12=24; 24-24=0) 12:2=6 остаток 0 (2х6=12; 12-12=0) 6:2=3 остаток 0 (3х2=6; 6-6=0) 3:2=1 остаток 1 (2х1=2; 3-2=1) 1 операции закончены (т.к. делится число меньше чем основание) Остаток отображает число в двоичной системе счисления, начиная с младшего двоичного разряда: 11000102 Проверка осуществляется выполнением обратной операции:
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 680; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |