Предел функции. Односторонние пределы

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, возможно, самой точки .

Определение 3.15 (по Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности имеет место соотношение . Обозначаем

.

Число называется пределом функции на бесконечности, если для любой бесконечно большой последовательности имеет место соотношение .

Определение 3.16 (по Коши). Число называется пределом функции в точке , если

(прочитать эту символьную запись словами и изобразить на координатной плоскости).

Определение 3.17. Число называется пределом слева функции в точке , если для любой последовательности имеет место соотношение . Обозначаем

.

Теорема 3.7. Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы.

Пример 3.6. Показать по определению, что .

Решение. Другими словами, необходимо в определении предела по Коши указать значение : . То есть - утверждение доказано.

Замечание. Если у функции существует предел, то для неё имеют место все свойства сходящихся последовательностей. Поэтому предел можно вычислять, применяя арифметические свойства пределов, а так же свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Пример 3.7. Найти .

Решение. .

Исходя из свойств бесконечно малых и бесконечно больших величин, имеют место соотношения

(в пределе).

Если же при нахождении пределов получаются соотношения вида которые называются неопределённостями, необходимо провести преобразование функции.

Пример 3.8. а) ====1;

б) =.

Если функция содержит тригонометрическое выражение, то для раскрытия неопределённости вида применяется «1 – ый замечательный» предел

и следствия из него

.

Пример 3.9. =

=.

Для раскрытия неопределённостей вида применяется «2 – ой замечательный» предел

(где - число Эйлера)

или следствие из него

.

Пример 3.10. Найти .

Решение. Поскольку , а , то по следствию из «2 – го замечательного» предела получаем .

Пример 3.11. Найти ==

=

Аналогичный приём используется при нахождении предела на бесконечности для иррациональных и смешанных выражений.

Дата добавления: 2014-01-15