Умножение оригиналов

Если ,,то

,

где путь интегрирования-вертикальная прямая .

σ

γ+i∞

s

s0 γ

γ-i∞

Рис.8

1.3.Резюме.

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила операционного исчисления.Для удобства пользования перечислим эти свойства:

1. Линейность. .

2. Подобие. .

3. Смещение. .

4. Запаздывание.

5. Дифференцирование оригинала.

, ,

,

…………………………………………………

6. Дифференцирование изображения.

…………………………

7. Интегрирование оригинала. .

8. Интегрирование изображения. .

9. Умножение изображений. .

10. Умножение оригиналов. .

1.4.Таблица оригиналов и изображений.

№	Оригинал	Изображение
1.
2.
3.	t
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

§2.Операционный метод решения линейных

дифференциальных уравнений.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального

уравнения с постоянными коэффициентами

, (2.1)

удовлетворяющее начальным условиям ,

где -заданные числа.

Считаем,что искомая функция у(t) вместе с производными и функция f(t)

являются оригиналами.

Пусть и .Пользуясь свойствами

дифференцирования оригинала и линейности,перейдем в уравнении (2.1) от оригиналов к изображениям:

.

Данное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях).

Разрешим его относительно Y:

,

т.е. , где - алгебраические многочлены от

р степени п и п-1 соответственно.

Из последнего уравнения находим . (2.2)

Полученное решение называют операторным решением дифференциального уравнения.

Оно имеет более простой вид,если все начальные условия равны нулю,т.е. : .

Находя оригинал у(t),соответствующий найденному изображению (2.2),получаем

в силу теоремы единственности,частное решение ДУ (2.1).

ПРИМЕР. Решить операционным методом ДУпри условиях.

Пусть ,тогда ,

,

.

Подставляя эти выражения в ДУ,получаем операторное уравнение:

.

Тогда ,найдем у(t). Разобъем дробь на сумму простейших

и найдем А,В,С, применив метод неизвестных коэффициентов:

Тогда получаем: ,

.

ПРИМЕР. Найти методом операционного исчисления решение у=f(t) линейного ДУ

при условиях .

Операционное исчисление произведем с помощью преобразований Лапласа.

Если при этом преобразовании функция f(t), ,переходит в функцию :

,

то производная (2.3)

и интеграл .

Следовательно,оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z, а интегрирование сводится к делению на z.

Решение: перейдя от искомой функции f(t) и данной функции к их изображениям

и (см.таблицу оригиналов и изображений) и применяя формулу (2.3) для

изображения производных,получают или

,

,

,

Откуда по таблице: .

Домашние задания к теме НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

1.Вычислить интегралы:

а). ; б). ; в). ; г). ;

д). ; е). ; ж). ; з). ;

и). ; к). ; л). ; м). ;

н). ; о). ; п). .

2.Применяя метод подстановки, найти интегралы:

а). ; б). ; в). ; г). ; д). ,();

е). , (x=-lnt); ж). ,(); з)., (t=sinx);

и). ; к). ,(), л). ;

м). , (t=ln2x).

3.Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

а). ; б). ; в). ; г). ; д). .

4. Найти интегралы:

а). ; б). ; в). .

5. Вычислить интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов:

а). ; б). ; в). ; г). .

6.Вычислить интеграл, используя рекуррентную формулу: .

Домашние задания к теме ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

1.Вычислить определенные интегралы:

а). ; б). ; в). ; г). .

2.Применяя метод подстановки, найти интегралы:

а). ; б). ; в). .

3.Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

а). ; б). ; в). .

4. Вычислить интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов:

а). ; б). .

5.Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):

а). ; б). ; в). ; г). .

6.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а).; б). ; в). ;

г). ; д). ; е). ;

ж). ;

з). .

7).Найти длину дуги:

а). ; б). ;

в). ; г). ;

д). .

8.Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями: вокруг оси Ох. ().

Домашние задания к теме ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1.Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

а). ; б). ;

в). ; г). ;

д). ; е). .

2. Решить дифференциальное уравнение методом замены переменной:

а). ; б). .

3. Решить однородное дифференциальное уравнение:

а). ; б). ;

в). .

4.Решить задачу Коши:

а). ; б). ;

в). .

5.Решить линейное дифференциальное уравнение:

а). ; б). ; в). .

6.Решить уравнение Бернулли: .

7.Решить дифференциальное уравнение (методом вариации постоянной):

а). ; б). ; в). ;

г). .

Домашние задания к теме ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

1.Напишите формулу общего элемента ряда:

а). ; б). ;

в). ; г). ; д). .

2.Найдите 5 первых элементов ряда:

а). ; б). ; в). ; г). .

3.Исследуйте расходимость ряда, используя необходимый признак расходимости:

а). ; б). ; в). ; г). ; д). .

3.Используя I критерий сравнения, исследовать сходимость ряда:

а). ; б). ; в). ; г). .

4. Определить сходимость ряда, используя II критерий сравнения:

а). ; б). ; в). ; г). .

5. Используя признак Коши, исследовать сходимость ряда:

а). ; б). ; в). ; г). ;

д). ; е). .

6.Определить сходимость ряда, используя признак Даламбера:

а). ; б). ; в). ; г). ; д). .

7. Используя интегральный признак Коши, исследовать сходимость ряда:

а). ; б). ; в). ; г). ; д). .

8.Знакочередующийся ряд. Определить сходимость ряда, используя признак Лейбница:

а). ; б). ; в). ; г). .

9.Определить ряд сходится абсолютно, условно или расходится?

а). ; б). ; в). .

10.Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда:

а). ; б). ; в). ; г). ; д).

11.Разложить в степенной ряд по степеням х функцию:

а). ; б). ; в). ; г). .

12.Вычислить приближенно с точностью 0,0001:

а). ; б). ; в). ; г). .

13.Разложить в ряд Фурье функцию:

а). ; б). ;

14. Разложить по косинусам кратных дуг: .

15.Разложить по косинусам и синусам кратных дуг:

а).; б). ; в). .

16. 13.Разложить в ряд Фурье функцию с периодом Т=2.

17. Разложить по синусам кратных дуг для вычисления суммы ряда: а). ; в). .

Домашние задания к теме КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

1.Укажите линии и область интегрирования:

а).

2.Изменить порядок интегрирования:

а). ; б). ; в).

3.Вычислить:

а). ; б). ; в).

4.Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

а).; б). ; в). ;

г). .

5. Вычислить массу однородной пластинки, ограниченной линиями

6.Вычислить массу и статические моменты квадратной пластинки со стороной равной 2 и плотностью .

7.Найти массу и координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями

8.Вычислить, используя полярные координаты:

а). ; б). ;

в). .

в).объем тела, ограниченного поверхностями

, расположенного в I октанте.

г).момент инерции однородной материальной фигуры относительно оси Ох,

если область D ограничена кардиоидой .

9.Вычислить:

а). ; б). ; в). .

10.Найти объем тела, ограниченного поверхностями

а). ;

б). ;

в). .

11.Используя цилиндрические координаты, найти:

объем тела, ограниченного поверхностями

а).; б). ;

в).массу тела, если .

12. Используя сферические координаты, найти:

а) объем тела, ограниченного поверхностями ; б). ;

в). .

Домашние задания к теме КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ.

1.Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

а). , если L- отрезок прямой , соединяющий точки А(0,-2), В(4,0).

б). , если L- отрезок прямой , соединяющий точки А(0,0), В(1,2);

в). , если L- отрезок прямой, соединяющий точки А(-1,0), В(0,1);

г)., если L- первый виток конической винтовой линии ;

д). , если L- дуга круга , расположенная в первой четверти. (Применить: ).

2.Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода:

а). , если L- отрезок прямой, соединяющий точки А(2,3),

В(3,5);

б). , если L- дуга параболы , соединяющий точки А(0,0),

В(2,4);

в). , если L- отрезок прямой, соединяющий точки А(4,2), В(6,3).

3.Используя формулу Грина, найти:

а)., взятый вдоль параболы и хорды от точки

А(1,0) до В(2,3);

б). , взятый вдоль ломаной линии ОАВ, если О(0,0), А(1,0),

В(0,1).

4.Найти массу винтовой линии , если плотность .

5.Найти массу дуги кривой , если плотность

;

6.Вычислить длину однородной дуги линии цепи .

Домашние задания к теме КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

1.Доказать, что а).; б). ; в). ; г). .

2.Дано , найти:

а). ; б). ; в). ; г). .

3.Вычислить: а).; б). ; в). .

4.Определить действительную и мнимую части комплексных чисел:

а). ; б). ; в). ; г). .

5.Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:

а). ; б). ; в). ; г). ; д). ;

е). ; ж). ; з). .

6.Вычислить,используя формулу Муавра:

а). ; б). ; в). ; г). ; д). .

7.Найти все значения корней и изобразить на комплексной плоскости .

8.Выполнить действия:

а). ; б). .

9.Найти корни уравнения: .

Домашние задания к теме ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

1.Найти поверхностный интеграл:

а)., где S - часть плоскости , лежащая в I октанте;

б). , где S - полусфера ;

в). , где S - часть поверхности параболоида , отсекаемая

плоскостью ;

г). , где S - часть конической поверхности , расположенная

между плоскостями .

2.Вычислить:

а). ,где S - внутренняя поверхность конуса ;

б). ,где S - верхняя часть плоскости , расположенная

в I октанте;

в). ,где S - внешняя сторона части сферы ,

расположенной в I октанте.

3.Найти массу поверхности сферы и статический момент

верхней полусферы, если поверхностная плотность .

Домашние задания к теме ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

1.Вычислить поток векторного поля через часть сферы , расположенной в первом октантев направлении внешней нормали.

2.Используя формулу Стокса, найти циркуляцию векторного поля

вдоль окружности .

3.Найти циркуляцию векторного поля вдоль линии (векторное поле линейных скоростей при вращении твердого тела вокруг оси Оz с угловой скоростью ω).Уравнение окружности задано в параметрической форме: .

4.Найти дивергенцию и поток, используя формулу Остроградского-Гаусса, если через полную поверхность конуса .

5.Доказать,что векторное поле является потенциальным.

6.Определить, является ли векторное поле соленоидальным?

а). ; б). ; в). .

7.Являются ли данные векторные поля безвихревыми?

а). ; б). ; в). .

Домашние задания к теме ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

1.Пользуясь определением, найти изображение Лапласа функций:

а). ; б). .

2.Может ли функция быть изображением некоторого оригинала?

3.Найти изображения функций:

а). ; б). ; в). ; г). .

4.Используя теорему об интегрировании оригинала

найти изображения: а). ; б). ;

в). ; г). .

5.Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях операционным методом:

а). ; б). .

Дата добавления: 2014-01-15