КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства корневого годографа
1. Число ветвей корневого годографа равно n – порядку системы, т.к. число корней равно степени характеристического уравнения. 2. Непрерывность ветвей и их симметричность относительно горизонтальной оси – в силу непрерывной зависимости решения характеристического уравнения от его коэффициентов, а также попарной сопряжённости комплексных корней. 3. Ветви корневого годографа, лежащие на вещественной оси, помещаются только на таких её отрезках, что справа от них расположено нечётное общее число нулей и полюсов.
Доказывается это на основе уравнения фаз: каждый расположенный справа от корня s полюс или нуль даёт угол , каждый расположенный слева на вещественной оси нуль или полюс даёт , каждая пара комплексно сопряжённых корней даёт суммарный угол . Поэтому уравнение фаз может удовлетворяться только за счёт нечётности общего числа нулей и полюсов справа от s на вещественной оси.
4. Относительно начал (К = 0) и концов (К → ∞) ветвей корневого годографа справедливы следующие утверждения: а) начала ветвей лежат в полюсах Pi разомкнутой системы, т.к. при К = 0 корни замкнутой системы совпадают с полюсами разомкнутой; б) корни одних ветвей стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы (таких ветвей m – по числу нулей), а корни остальных (n-m) ветвей уходят в бесконечность. Докажем это свойство, разделив характеристическое уравнение замкнутой системы на К: . Тогда левая часть при будет стремиться к многочлену M(s), корни которого как раз и являются нулями передаточной функции разомкнутой системы. Поскольку порядок характеристического уравнения при этом понижается до m, то остальные n-m корней обращаются в бесконечность.
В самом деле, если порядок уравнения понизить на единицу, т.е. устремить , то из записи этого уравнения в виде видно, что при должно выполняться , т.е. . Аналогично при дальнейшем понижении порядка на каждую единицу. 5. Асимптоты ветвей корневого годографа, уходящих в бесконечность, образуют правильную (n-m)-лучевую звезду с центром на вещественной оси, абсцисса которого , а углы наклона асимптот . Например:
Доказательство. Основное уравнение (!) согласно (3) можно записать в виде или . Разделим числитель на знаменатель, сохранив для случая только два первых члена. Получим или .
Далее, по формуле бинома Ньютона , откуда . Но поскольку . Тем самым при вектор, соответствующий s, состоит из двух векторов , первый из которых даёт положение центра звезды, а второй даёт (n-m) лучей, длины которых при неограниченно возрастают.
6. Точки пересечения ветвей корневого годографа с мнимой осью соответствуют чисто мнимым корням характеристического уравнения. Поэтому, как следует из критериев устойчивости, эти точки можно найти либо из условия , либо, лучше всего, из условия прохождения годографа Михайлова замкнутой системы через начало координат P (ω, K)=0, Q (ω, K) = 0, где P (ω) +iQ (ω) = D (iω). Эти условия определяют и ординаты w пересечения годографа с мнимой осью и соответствующую величину К. 7. Точки пересечения ветвей корневого годографа с вещественной осью это точки, в которых два корня сливаются, превращаясь из вещественных в мнимые или наоборот. Для определения координат этих точек на вещественной оси используется уравнение фаз в малых приращениях, соответствующее малому перемещению какого-либо корня вдоль ветви годографа. Такое уравнение имеет вид , т.к. правая часть уравнения фаз является постоянной величиной.
Пример. , т.е. или ,
откуда можно определить искомую величину α.
Другой способ отыскания точек ветвления корневых траекторий (точек двойной кратности): При s = s 1 имеем D (s 1) = 0 и , т.е. . Тогда условие кратности корней и уравнение для самих корней: . Пример (см. начало лекции): .
8. Если имеются комплексные полюса (или нули), то угол выхода ветви корневого годографа из комплексного полюса (или входа в комплексный нуль) можно определить из уравнения фаз для этого полюса (или нуля). В самом деле, при малом удалении корня sj от полюса Pj искомая касательная к траектории корня совпадает с вектором sj - Pj, наклон которого θj входит в уравнение фаз и может быть из него определён: .
9. Из расположения асимптот в виде правильной (n-m)-лучевой звезды вытекает, что при (n-m)>0 одни ветви идут вправо, т.е. приближаются к мнимой оси с увеличением К, а другие уходят влево, т.е. удаляются от мнимой оси. Очевидно, что при оценке качества процесса управления важны первые из них, а влиянием остальных можно пренебречь. Ближайшие к мнимой оси корни называются доминирующими.
10. При построении корневых годографов бывает полезно использовать свойство суммы и произведения корней: . Эти формулы позволяют найти оставшиеся 2 корня при n -2 найденных ранее.
Полученные общие свойства, каждое из которых достаточно очевидно, в совокупности представляют эффективный инструмент анализа корней замкнутой системы.
Пример. Построим корневой годограф замкнутой системы с передаточной функцией разомкнутой в виде , где b > a. Хотя в этом, также простом, случае корневые траектории можно построить непосредственно по решениям характеристического уравнения , воспользуемся основными свойствами корневых траекторий.
1. Поскольку n = 2, то имеем две корневые траектории. 2. Ветви симметричны относительно вещественной оси. 3. На вещественной оси траектории могу располагаться только слева от точки – b и между точками 0 и – a. 4. Одна траектория должна прийти в «нуль»: точку –b, другая – в ¥. 5. (n-m)-лучевая звезда имеет одну асимптоту - 180°. 6. Так как корни характеристического уравнения положительны, то при всех К>0 замкнутая система остается устойчивой. Поэтому корневые траектории мнимую ось не пересекают.
7. Точки пересечения корневых траекторий с действительной осью определяется уравнением .
8. Угол входа в «нуль»
Следовательно: корни s1 и s2 выходят из Р1 и Р2 и движутся навстречу друг другу. При К=К1 корни становятся кратными действительными, затем расходятся, превращаясь в два мнимых, после чего сливаются в двукратный корень при К=К2 и расходятся: один в нуль N1, другой в -∞.
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 1953; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |