Угол между n-мерными векторами

Из неравенства Коши — Буняковского следует -или

(12.1)

Углом между ненулевыми n-мерными векторами A и B называется решение уравнения

, (12.2)

которое принадлежит отрезку .

Из условия (12.1) следует, что урав­нение имеет решение при любых . Так как уравнение (12.2) имеет на отрезке единственное решение, то угол между векторами A и B определен однозначно.

Перепишем соотношение (12.1) в виде АВ = cos. Отсюда сле­дует, что скалярное произведение векторов A и B равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Геометрические характеристики векторов — длина вектора и угол меж­ду векторами - позволяют сформулировать критерий равенства n-мерных векторов.

Теорема 11.1. Ненулевые n-мерные векторы A и В равны тогда и только тогда, когда угол между ними равен нулю и длины этих векто­ров равны.

□ Необходимость. Дано A = B. Тогда значит

Достаточность. Данои . Для доказательства равен­ства векторов

A и B рассмотрим скалярный квадрат (А - В)²:

(А - В)² = А ² -2 АВ + В ² =

т. е. (А - В)² = 0. Из свойства 4 скалярного произведения векторов следует A - B = или A = B. ■

Дата добавления: 2014-01-15