Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

(5.48)

и соответствующее ему однородное уравнение

, (5.49)

где - постоянные.

По теореме об общем решении ЛОДУ из п. 5.12.1, для того чтобы найти общее решение однородного уравнения (5.49), достаточно найти два линейно независимых частных решения этого уравнения. Будем искать частные решения в виде

, . (5.50)

Подставляя (5.50) в (5.49), получаем

.

Следовательно,

. (5.51)

Уравнение (5.51) называется характеристическим уравнением. Обозначим его корни через и . Возможны три случая: корни вещественные и различные, корни вещественные и равные, корни комплексные. Рассмотрим все случаи.

1) Корни вещественные и различные: . В этом случае частными решениями будут функции и . . По теореме о вронскиане из п. 5.12.1 функции и образуют фундаментальную систему решений уравнения (5.49). По теореме об общем решении ЛОДУ из п. 5.12.1 общее решение уравнения (5.49) имеет вид

.

2) Корни вещественные и равные: . В данном случае функции и линейно зависимы, то есть они не образуют фундаментальную систему решений. Возьмем первое решение , а второе - будем искать в виде , где - неизвестная функция, подлежащая определению. Подставляя в уравнение (5.49), получаем

.

Так как , то и . Учитывая (5.51), получаем, что . Следовательно, . Возьмем , . Тогда .

.

Следовательно,

.

3) Корни комплексные. Пусть характеристическое уравнение (5.51) имеет два комплексно-сопряженных корня: и . Тогда частными решениями будут функции и . По формуле Эйлера , . Очевидно, что если - решение однородного уравнения, то и - также решения этого уравнения. Поэтому в качестве частных решений можно взять функции и . Они образуют фундаментальную систему решений, поэтому

.

Задание. Убедиться, что функции и образуют фундаментальную систему решений уравнения (5.49).

Примеры.

1) . .

2) .

Дата добавления: 2014-01-15