Определение перемещений от силового воздействия

В одиннадцатой лекции (п. 11.3) упоминалось, что влияние деформаций изгиба, сдвига и растяжения–сжатия на величины перемещений в сооружениях неодинаково. В рамах и балках преимущественное влияние на величины перемещений оказывают деформации изгиба, в комбинированных системах, – как деформации изгиба, так и растяжения–сжатия, в фермах при узловой передаче нагрузки – только деформации растяжения–сжатия. В ряде случаев, например, при расчёте арок и пространственных стержневых систем определение перемещений производится с учётом всех видов деформаций. С учётом данного обстоятельства рассмотрим определение перемещений в сооружениях различного типа от силового воздействия в матричной форме.

1. Балки и рамы. Приняв в соотношении (13.2) Ф_ik(s) = M_ik(s), Ф_Fk(s) = M_Fk(s), T_k(s) = EJ_k(s), P_k = B_Mk, перепишем формулу Мора для определения перемещений в матричной форме:

. (13.8)

В выражении (13.8): n_M – количество грузовых участков для изгибающих моментов; M_i – матрица изгибающих моментов от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений, или матрица изгибающих моментов в единичных состояниях заданного сооружения; В_М – матрица внутренней упругой податливости сооружения, учитывающая деформации изгиба его элементов; M_F – матрица изгибающих моментов от силового воздействия.

Матрицы M_i, В_М, M_F являются блочными, причём количество блоков в них равно числу грузовых участков для изгибающих моментов (n = n_M).

(13.9)

Структура блоков, входящих в матрицы (13.9) для любого грузового участка, определяется видом функций, входящих в подынтегральное выражение соотношения (13.8).

В общем случае, когда на k-ом грузовом участке с переменной изгибной жёсткостью поперечного сечения EJ_k(s) есть распределённая нагрузка, функция M_Fk(s) нелинейна. Тогда в соответствии с выражением (13.2) имеем:

(13.10)

Здесь в, с, е – обозначения сечений соответственно в начале, середине и в конце k-го участка; EJ₀ – произвольное число; , , – относительные изгибные податливости сечений в, с, е

; ; .

Если EJ_k(s) = const = EJ_k, то приняв EJ₀ = = = = EJ_k, получим === 1 и тогда матрица (13.10) внутренней упругой податливости для k-го грузового участка преобразуется следующим образом:

(13.11)

При отсутствии на грузовом участке распределённой нагрузки функция M_Fk(s) будет линейной. Функция M_ik(s) при определении перемещений отдельных сечений и узлов стержневых систем также линейна. В этой ситуации, учитывая соотношение (13.6), получим:

(13.12)

При EJ_k(s) = const = EJ_k и EJ₀ = EJ_k матрица (13.12) перепишется

(13.13)

Число строк в блочных матрицах (13.9) M_i, M_F, B_M равно суммарному числу сечений, в которых фиксируются изгибающие моменты для вычисления требуемой матрицы перемещений. В матрице M_i число столбцов равно числу определяемых перемещений, в матрице M_F – числу внешних воздействий на сооружение, в матрице B_M – числу строк.

2. Фермы. В фермах при узловой передаче нагрузки усилия в сечениях стержней постоянны. Довольно часто и жёсткости поперечных сечений стержней на растяжение–сжатие также постоянны. В этом случае при Ф_ik = N_ik = const, Ф_Fk = N_Fk = const, T_k = EA_k = const соотношение (13.7) для k-го стержня примет вид:

,

где [1].

Распространяя последнее соотношение на всю форму, имеющую n стержней, получим:

. (13.14)

В формуле (13.14): N_i – матрица продольных усилий в стержнях фермы от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений; N_F – матрица продольных усилий в стержнях фермы от заданного силового воздействия; B_N – матрица внутренней упругой податливости фермы, учитывающая деформации растяжения–сжатия её стержней, т.е.

. (13.15)

Число строк матриц N_i, N_F и B_N равно числу стержней фермы. В матрице N_i число столбцов равно числу искомых перемещений, в матрице N_F – числу внешних комбинаций узловых нагрузок, в диагональной матрице B_N – числу строк.

3. Комбинированные системы. В комбинированных системах, в которых, как правило, при определении перемещений пренебрегают деформациями сдвига, формула Мора имеет вид:

.

Последнее выражение в этой формуле предусматривает учёт деформаций растяжения–сжатия в незагруженных элементах, имеющих по концам цилиндрические шарниры и преимущественно постоянную жёсткость поперечного сечения на растяжение–сжатие. Таким образом, эти элементы комбинированных систем работают как стержни ферм при узловой передаче нагрузки. С учётом этого обстоятельства формулу Мора для комбинированных систем можно представить так:

. (13.16)

Здесь n_N – число стержней, в которых необходимо учесть деформации растяжения–сжатия; L_i – матрица внутренних усилий (изгибающих моментов и продольных сил) от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений; L_F – матрица внутренних усилий от внешних силовых воздействий; В – матрица упругой внутренней податливости комбинированной системы, учитывающей как деформации изгиба, так и деформации растяжения–сжатия. Упомянутые матрицы имеют блочную структуру:

. (13.17)

Формирование блоков матриц (13.17) производится: M_i, M_F, B_M – по правилам, изложенным выше для рам и балок; N_i, N_F, B_N – по соответствующим правилам для ферм.

4. Плоские стержневые системы. Для этих систем с учётом влияния всех видов деформаций на перемещения формула Мора в матричной форме запишется следующим образом:

(13.18)

В соотношении (13.18):

.

В матрице В блок В_Q учитывает деформации сдвига элементов сооружения.

Порядок формирования блоков M_i, N_i, M_F, N_F, B_M и B_N изложен выше. Вид блоков Q_i, Q_F, B_Q зависит от характеристик грузовых участков для поперечных сил: есть ли распределённая нагрузка на этих участках, каков закон изменения жёсткости поперечного сечения на сдвиг GA_k(s)? В частности, при GA_k(s) = = const = GA_k и равномерно распределённой нагрузки для k-го грузового участка имеем:

.

Если распределённая нагрузка на рассматриваемом грузовом участке отсутствует, то , , и при GA_k(s) = const = GA_k матрицы Q_ik, Q_Fk, B_Qk будут состоять из одного элемента, причём

[1].

5. Пространственные стержневые сис­те­мы. В общей формуле Мора, записанной в матричной форме для определения перемещений в этих системах

,

элементами матриц L_i и L_F являются изгибающие моменты и поперечные силы, действующие в главных плоскостях инерции поперечных сечений, продольные силы и крутящие моменты. Матрица внутренней податливости сооружения В в этом случае включает в себя блоки, учитывающие все виды деформаций (изгиба и сдвига в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, растяжения–сжатия и кручения).

Пример 13.4.1. В трёхшарнирной раме, показанной на рис. 13.4,а, изгибная жёсткость поперечного сечения ригеля задана и равна EJ, стоек – 0,5EJ. Требуется определить горизонтальное перемещение и поворот узла К отдельно от равномерно распределённой нагрузки q = 2 кН/м и от сосредоточенного момента М = 12 кН×м, т.е. требуется вычислить элементы матрицы перемещений

.

Искомую матрицу перемещений определим по формуле (13.8)

.

1. Построение эпюр изгибающих моментов M_q и M_М отдельно от равномерно распределённой нагрузки и от сосредоточенного момента (рис. 13.4,б).

2. Построение эпюр изгибающих моментов M₁ и M₂ от единичных силовых факторов F = 1 и М = 1, приложенных в направлении определяемых перемещений (рис. 13.4,в).

3. Нумерация грузовых участков для изгибающих моментов и сечений, в которых изгибающие моменты будем фиксировать

как элементы матриц M_i и M_F: на участках 1 и 3, где нет распределённой нагрузки, – в начале и в конце; на участке 2, несущем равномерно распределённую нагрузку, – в начале, середине и в конце (рис. 13.4,г). Порядок нумерации сечений должен строго соответствовать последовательности нумерации грузовых участков.

4. Формирование матриц изгибающих моментов M_i и M_F, а также матрицы внутренней податливости рамы В_М, учитывающей изгибные деформации на выделенных грузовых участках. Элементы матриц M_i и M_F будем считать положительными, если изгибающие моменты в рассматриваемых сечениях растягивают нижние волокна на горизонтальных участках и правые – на вертикальных. Отрицательные элементы этих матриц соответствуют изгибающим моментам, растягивающим верхние волокна на горизонтальных участках и левые – на вертикальных.

Так как на всех грузовых участках рамы изгибные жёсткости поперечных сечений постоянны, матрица внутренней податливости второго грузового участка определится соотношением (13.11), а первого и третьего – соотношением (13.13):

;

.

Для всей рамы матрица внутренней податливости В_М формируется из блоков, записанных выше для отдельных грузовых участков:

5. Вычисление требуемой матрицы перемещений.

= =

.

Из полученной матрицы перемещений видно, что горизонтальное перемещение узла К равно нулю, что и следовало ожидать, так как вычисление этого перемещения по формуле Мора

сводится к сопряжению симметричной эпюры изгибающих моментов M_q с обратносимметричной эпюрой изгибающих моментов М₁. Так как величины перемещений , и получились отрицательными, то это значит, что направление этих перемещений противоположно направлению соответствующих единичных силовых факторов.

Пример 13.4.2. В ферме, показанной на рис. 13.5,а, от сосредоточенных сил F = 16 кН определить вертикальное перемещение узла 1 (D_1у) и горизонтальное перемещение узла 6 (D_6х), т.е. вычислить элементы матрицы перемещений

.

Жёсткости поперечных сечений элементов фермы на растяжение–сжатие известны и равны: для горизонтальных стержней – 2ЕА, вертикальных – ЕА, наклонных – 0,5ЕА.

Требуемую матрицу перемещений определим по формуле (13.14)

= .

1. Определение продольных усилий в стержнях фермы от заданной нагрузки F = 16 кН (рис. 13.5,а).

2. Определение продольных усилий в стержнях фермы от вертикальной единичной силы F_1y, приложенной к узлу 1 (рис. 13.5,б) и от горизонтальной единичной силы F_6x = 1, приложенной к узлу 6 (рис. 13.5,в).

Результаты расчётов по определению усилий в стержнях фермы от заданной нагрузки и от единичных сосредоточенных сил приведены в табл. 1. Продольные усилия от заданной нагрузки вычислены в кН.

Таблица 1

	NA1	N23	N3B	N45	N56	NA2	N24
F=16 кН	-16	-16	-16	-2,67	-2,67	-14	-2
F1y=1				-0,67	-0,67	-0,5	-0,5
F6x=1	-1	-1				-0,75

Продолжение табл. 1

	N13	N35	NB6	N43	N36	N21
F=16 кН	-12	-16	-2	3,33	3,33
F1y=1			-0,5	0,83	0,83
F6x=1	-0,75		0,75		-1,25	1,25

3. Формирование матриц продольных усилий в стержнях фермы N_i от единичных силовых факторов и N_F от заданной нагрузки. Порядок записи продольных усилий в упомянутых матрицах сохраним такой же, как в табл. 1.

				-0,67	-0,67	-0,5	-0,5
-1	-1				-0,75
	NA1	N23	N3B	N45	N56	NA2	N24

		-0,5	0,83	0,83	0
-0,75		0,75		-1,25	1,25
N13	N35	NB6	N43	N36	N21

-16

-16

-16

-2,67

-2,67

-14

-2

-12

-16

-2

3,33

3,33

4. Формирование матрицы внутренней податливости фермы B_N, учитывающей деформации растяжения–сжатия её стержней. Выше было показано, что для k-го стержня фермы

[1].

Учитывая это соотношение, получим:

– для горизонтальных стержней – ;

– вертикальных – ;

– наклонных – .

Для всей фермы матрица внутренней податливости B_N имеет диагональную структуру и запишется:

.

5. Вычисление требуемой матрицы перемещений

.

Операция умножения матриц здесь не приведена. Читатели, при желании, могут это выполнить самостоятельно. Знак "плюс" элементов матрицы D_F показывает, что от заданной нагрузки вертикальное перемещение узла 1 фермы будет происходить вниз, а горизонтальное перемещение узла 6 – влево.

Пример 13.4.3. В комбинированной системе (рис. 13.6,а) изгибная жёсткость поперечного сечения горизонтального элемента АК равна EJ, а жёсткости поперечных сечений на растяжение–сжатие опорных элементов ДС, СВ и ВК – ЕА, причём ЕА = 10EJ. В этой системе требуется вычислить вертикальное перемещение шарнира К отдельно от постоянной (q = 2 кН/м) и временной (М = 48 кН×м, F = 16 кН) нагрузок, т.е. требуется определить элементы матрицы перемещений

.

Решая поставленную задачу, будем пренебрегать влиянием деформаций сдвига и растяжения–сжатия горизонтального элемента АК на величину искомого перемещения.

1. Построение эпюр изгибающих моментов M_const и M_temp и определение продольных усилий в опорных элементах от постоянной (рис. 13.6,б) и временной (рис. 13.6,в) нагрузок.

2. Вычисление продольных сил в элементах ДС, СВ, ВК и построение эпюры изгибающих моментов М₁ на участке АК от вертикальной сосредоточенной силы F = 1, приложенной к шарниру К (рис. 13.6,г).

Все вышеперечисленные операции по определению внутренних усилий в заданной системе читателям предлагается выполнить самостоятельно.

3. Сквозная нумерация грузовых участков и сечений на элементе АК и стержней, для которых задана жёсткость поперечных сечений на растяжение–сжатие ЕА (рис. 13.6,д).

4. Формирование матриц, необходимых для решения поставленной задачи по формуле (13.16)

.

Блоки M_i, B_M и M_F этих матриц для грузовых участков 1 и 2 формируются по правилам, изложенным выше для рам и балок (см. пример 13.4.1), а блоки N_i, B_N, N_F для опорных элементов 3, 4, 5 – по соответствующим правилам для ферм (см. пример 13.4.2).

,

где В_М,1 = В_М,2 = ;

В_N,3 = В_N,4 = В_N,5 = .

5. Вычисление элементов требуемой матрицы перемещений.

.

Знак "минус" величин полученных перемещений означает, что шарнир К заданной комбинированной системы от постоянной и временной нагрузок будет перемещаться вверх.

Дата добавления: 2014-01-15