Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение внутренних усилий в заданном сооружении

На данном этапе расчёта статически неопределимого сооружения мы располагаем эпюрами внутренних усилий M1, Q1, N1, M2, Q2, N2, …, Mj, Qj, Nj, …, Mn, Qn, Nn, MF, QF, NF, построенными в основной системе метода сил от Х1 = 1, Х2 = 1, …, Хj = 1, …, Хn = 1 и заданного силового воздействия, а также реакциями в лишних связях Х1, Х2, …, Хj, …, Хn, полученными в результате решения системы канонических уравнений метода сил (16.4). Внутренние усилия в сечениях заданной статически неопределимой системы от внешней нагрузки вычислим, применяя принцип независимости действия сил:

M = M1X1 + M2X2 + … + MjXj + … + MnXn + MF; (16.11)

Q = Q1X1 + Q2X2 + … + QjXj + … + QnXn + QF; (16.12)

N = N1X1 + N2X2 + … + NjXj + … + NnXn + NF. (16.13)

В статически неопределимых рамных и балочных системах, где коэффициенты dii, dij, DiF определяются с учётом только изгибных деформаций по сокращённым формулам Мора (16.8)–(16.10), в сечениях заданного статически неопределимого сооружения могут быть получены только изгибающие моменты (см. соотношение (16.11)). В этом случае поперечные и продольные силы определяются по известной эпюре изгибающих моментов из условий равновесия элементов и узлов заданного сооружения (см. п. 5.4 первой части настоящего курса лекций).

16.5. Промежуточные и окончательная проверки правильности расчёта

Из пунктов 16.1–16.4 настоящей лекции просматривается следующая последовательность расчёта статически неопределимых систем методом сил:

1. Выбор основной системы.

2. Построение в основной системе метода сил эпюр внутренних усилий от Xj = 1 (j = 1, 2, …, n) и от заданной нагрузки.

3. Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода сил.

4. Решение системы канонических уравнений.

5. Определение внутренних усилий в заданном сооружении.

Многоэтапность расчёта требует постоянного контроля за ходом решения задачи. В первую очередь, необходимо убедиться в правильности построения эпюр внутренних усилий в основной системе от неизвестных метода сил Xj = 1 (j = 1, 2, …, n) и заданной нагрузки (см. п. 5.2 и 5.4 первой части настоящего курса лекций).

Далее проводится проверка достоверности вычислений коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений. Изложим здесь ход этой проверки для рамных и балочных систем, где коэффициенты при неизвестных и свободные члены вычисляются только сопряжением эпюр изгибающих моментов M1, M2, …, Mi, …, Mj, …, Mn, MF, построенных в основной системе метода сил от Х1 = 1, Х2 = 1, …, Хi = 1, …, Хj = 1, …, Хn = 1 и заданной нагрузки. Для проверки используем суммарную эпюру изгибающих моментов:

Ms = M1 + M2 + … + Mi + … Mj + …+ Mn. (16.14)

Сопрягая эту эпюру саму на себя, получим сумму всех коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений:

(16.15)

В этом нетрудно убедиться, подставив соотношение (16.14) в левую часть формулы (16.15). Если полученная сумма не совпадает с суммой всех коэффициентов при неизвестных, ранее вычисленных по формулам (16.8) и (16.9), то необходимо выявить ошибку путём построчной проверки правильности вычисления коэффициентов при неизвестных метода сил. Эту сумму для i-й строки системы канонических уравнений получим, сопрягая суммарную эпюру изгибающих моментов Ms с эпюрой изгибающих моментов Mi, построенной в основной системе от действия Хi = 1.

= di1 + di2 + … + dii + … + dij + … +din. (16.16)

Сумму всех грузовых коэффициентов системы канонических уравнений получим, сопрягая суммарную эпюру изгибающих моментов Ms с грузовой эпюрой изгибающих моментов MF, полученной в основной системе от заданного силового воздействия.

(16.17)

Сумма грузовых коэффициентов, полученная из соотношения (16.17), должно совпадать с суммой свободных членов системы канонических уравнений, ранее вычисленных по формуле (16.10).

На заключительном этапе расчёта проводится проверка правильности эпюр внутренних усилий M, Q, N, построенных в заданном статически неопределимом сооружении от внешней нагрузки. Эти эпюры достоверны, если выполнены кинематические условия, а именно: перемещения по направлению любого неизвестного метода сил Xi (i = 1, 2, …, n) в основной системе от действия всех усилий в лишних связях X1, X2, …, Xj, …, Xn и заданной нагрузки должно быть равно нулю, так как в заданном сооружении имеется связь, препятствующая перемещению по направлению Xi. Для вычисления этого перемещения проверяемые эпюры внутренних усилий M, Q, N сопрягаются с эпюрами внутренних усилий Mi, Qi, Ni, полученными в основной системе метода сил от Xi (i = 1, 2, …, n).

(16.18)

В расчётах статически неопределимых рамных и балочных систем эта проверка производится по сокращённой формуле Мора:

(16.19)

Для кинематической проверки правильности расчёта статически неопределимого сооружения могут быть использованы эпюры внутренних усилий, построенные в каких-то других основных системах метода сил от Xi (i = 1, 2, …, n) и ранее не используемых для расчёта заданной системы, а также суммарные эпюры внутренних усилий, полученные в любой основной системе Ms, Qs, Ns от Xi (i = 1, 2, …, n) (см., например, соотношение (6.14) для Ms).

16.6. Пример расчёта статически неопределимой рамы методом сил

Построить эпюры внутренних усилий от силового воздействия в раме, изображённой на рис. 16.10,а, если известно, что изгибная жёсткость поперечных сечений ригелей рамы EJp вдвое больше изгибной жёсткости поперечных сечений её стоек EJс, т.е. EJp: EJс = 2: 1.

1. Определение степени статической неопределимости рамы по формуле "контуров" (14.1).

nst = 3K – H = 3 × 2 – 4 = 2.

При вычислении nst учтено, что шарнир правой стойки рамы, соединяющий в узле три диска, эквивалентен двум простым шарнирам.

2. Выбор основной системы метода сил и её кинематический анализ. Основную систему образуем введением цилиндрических шарниров в верхний и нижний узлы правой стойки рамы, т.е. удалением связей, препятствующих взаимному повороту двух соседних сечений верхнего правого узла рамы и повороту сечения, расположенному близко к правому опорному защемлению рамы. За неизвестные метода сил в нашем случае принимаются усилия в удалённых угловых связях, а именно – изгибающие моменты Х1 и Х2 (рис. 16.10,б).

 

Принятая для расчёта основная система метода сил с кинематической точки зрения имеет простую структуру и геометрически неизменима. Действительно, диск 1 основной системы закрепляется к диску "земля" цилиндрическим шарниром А и связью ab, ось которой не проходит через шарнир А (рис. 16.11,а). К геометрически неизменяемой структуре AbaС узел В присоединён диадой (двумя связями СВ и аВ).

3. Построение эпюр изгибающих моментов в основной системе метода сил от Х1 = 1 (рис. 16.10,в), Х2 = 1 (рис. 16.10,г) и заданной нагрузки (рис. 16.10,д). Эти эпюры читателям предлагается построить самостоятельно, приняв во внимание рабочую схему основной системы (рис. 16.11,б), на которой показаны её главная и второстепенная части и определён порядок расчёта.

 

4. Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений:

Сопряжение соответствующих эпюр изгибающих моментов будем производить, используя формулу Симпсона и правило Верещагина (см. п. 11.4 второй части настоящего курса лекций). Напоминаем, что определение коэффициентов dii, dij и DiF в рамных и балочных системах производится только с учётом изгибных деформаций по формулам (16.8)–(16.10).

Примем EJp = 2EJ, EJс = EJ (EJ – произвольное число), сохраняя заданное соотношение между изгибными жесткостями поперечных сечений ригелей и стоек рамы.

Читателям рекомендуется тщательно проверить арифметические выражения, записанные ниже для численных значений определённых интегралов формулы Мора.

5. Проверка правильности вычисления коэффициентов при неизвестных и грузовых коэффициентов системы канонических уравнений. Суммарная эпюра изгибающих моментов Ms = M1+M2 от Х1 = 1 и Х2 = 1 в основной системе метода сил показана на рис. 16.10,е.

Результат сопряжения эпюры изгибающих моментов Ms саму на себя равен сумме

,

что подтверждает достоверность вычисления коэффициентов при неизвестных.

Сумма ранее вычисленных грузовых коэффициентов системы канонических уравнений

совпадает с результатами сопряжения эпюр изгибающих моментов Ms и MF, что свидетельствует о правильности их вычисления.

6. Решение системы канонических уравнений:

В заданной системе уравнений абсолютное значение жёсткости поперечного сечения стоек рамы EJc = EJ сокращается, т.е. величины усилий в лишних связях Х1 и Х2 и, следовательно, значения внутренних усилий от заданной нагрузки во всех сечениях рамы зависят от относительного значения изгибных жесткостей поперечных сечений элементов рамы. Этот вывод распространяется на любые статически неопределимые стержневые системы при их расчёте на силовое воздействие.

Отсюда получим: Х1 = -13,64 кН×м, Х2 = 35,45 кН×м. Знак "минус" для числового значения усилия в лишний связи Х1 указывает на обратное направление действия этого усилия по сравнению с предварительно принятым при выборе основной системе метода сил.

7. Определение изгибающих моментов в сечениях заданной рамы и построение соответствующей эпюры. Для рассматриваемой задачи соотношение (16.11) примет вид:

M = M1X1 + M2X2 + MF.

Ординаты эпюры М1 умножим на –13,64 кН×м, а М2 – на 35,45 кН×м, затем произведём сложение эпюр М1Х1, М2Х2 и MF (рис. 16.12). Эпюра изгибающих моментов заданной раме показана рис. 16.13,а.

 

8. Кинематическая проверка. Для этой цели используем суммарную эпюру изгибающих моментов Ms (рис. 16.10,е)

Кинематическая проверка выполнена с нулевой абсолютной погрешностью.

9. Построение эпюр поперечных и продольных сил в заданной раме. Читателям предлагается, используя методику, изложенную в п. 5.4 первой части настоящего курса лекций, эпюру поперечных сил построить по эпюре изгибающих моментов, а эпюру продольных сил – по эпюре поперечных сил. Эпюры Q и N для заданной рамы показаны на рис. 16.13,б,в.

16.7. Расчёт статически неопределимых систем методом сил в матричной форме

Система канонических уравнений метода сил (16.4) в матричной форме запишется:

dX + DF = 0. (16.20)

d – матрица перемещений по направлению усилий в удалённых связях Хi в единичных состояниях основной системы метода сил, или матрица внешней податливости основной системы метода сил по направлению Xi (i = 1, 2, …, n).

.

Число строк и столбцов этой матрицы равно степени статической неопределимости сооружения n, т.е. матрица d – это квадратная матрица. С учётом теоремы о взаимности перемещений матрица d симметрична. В силу разрешимости системы уравнений (16.20) матрица внешней податливости основной системы метода сил является невырожденной, так как её определить не равен нулю (det d ¹ 0).

Х – матрица усилий в лишних связях сооружения, или матрица неизвестных метода сил.

.

DF – матрица перемещений по направлению неизвестны метода сил в основной системе от заданного силового воздействия, или матрица свободных членов системы канонических уравнений метода сил.

.

Число строк в матрицах Х и DF равно степени статической неопределимости сооружения n, а число столбцов – числу комбинаций внешних нагрузок р (постоянной и временных).

Элементы матриц d и DF – это перемещения в основной системе метода сил по направлению усилий в удаленных связях Xi, соответственно, от единичных значений этих усилий и заданной нагрузки. Упомянутые перемещения dii, dij, DiF можно вычислить в матричной форме, используя соотношение (13.18):

d = LT B L, (16.21)

DF = LT B LF. (16.22)

L – матрица необходимых для расчёта сооружения на силовое воздействие внутренних усилий (изгибающих моментов, поперечных и продольных сил) в основной системе метода сил от X1 = 1, X2 = 1, …, Xj = 1, …, Xn = 1.

L = [L1 L2 … Lj … Ln], .

Число столбцов матрицы L равно числу неизвестных метода сил n, а число строк блоков Mj, Qj, Nj этой матрицы определяется характером внешней нагрузки и числом грузовых участков сооружения.

Для k-го грузового участка с равномерно распределённой нагрузкой

.

Здесь в и е – концевые сечения грузового участка (начало и конец), с – среднее сечение грузового участка.

Для k-го грузового участка, на котором распределённой нагрузки нет

.

Для участка с произвольно ориентированной по отношению к оси стержня равномерно распределённой нагрузкой

,

для грузового участка с такой же нагрузкой, но не перпендикулярной его оси

.

Если равномерно распределённая нагрузка перпендикулярна оси стержня, то продольную силу на таком грузовом участке берут в одном, произвольно взятом, сечении. При отсутствии нагрузки поперечную и продольную силы также фиксируют в одном сечении грузового участка.

В соотношении (16.22) LF – матрица внутренних усилий в основной системе метода сил от заданной нагрузки.

LF = [LF1 LF2 … LFj … LFp], .

Число строк в блоках MFj, QFj, NFj матрицы LF также зависит от вида нагрузки, количества грузовых участков заданной системы и совпадает с числом строк блоков Mj, Qj, Nj матрицы L. Количество столбцов матрицы LF равно числу комбинаций силовых воздействий р.

В матричных соотношениях (16.21) и (16.22) В – матрица внутренней упругой податливости сооружения.

.

ВМ – матрица упругой податливости, учитывающая изгибные деформации элементов сооружения. Для грузового участка с постоянной изгибной жёсткостью поперечного сечения (EJk = const) при наличии на нём равномерно распределённой нагрузки

,

при отсутствии нагрузки –

.

BQ – матрица упругой податливости, учитывающая деформации сдвига элементов системы. На k-ом участке с равномерно распределённой нагрузкой в случае GAk = const

,

без такой нагрузки –

.

BN – матрица упругой податливости, учитывающая деформации растяжения-сжатия сооружения. Если равномерно распределённая нагрузка не перпендикулярна оси k-го грузового участка, то

,

если же такого рода нагрузка действует перпендикулярно оси грузового участка или вообще отсутствует на нём, то

.

Из системы канонических уравнений (16.20) получим матрицу неизвестных метода сил:

X = –d-1 DF. (16.23)

d-1 – матрица, обратная по отношению к матрице внешней податливости d. Из линейной алгебры известно, что

d × d-1 = Е,

где Е – единичная матрица.

Подставляя соотношение (16.21) и (16.22) в матричное выражение (16.23), получим:

X = –(LT B L)-1 (LT B LF). (16.24)

Вычислив матрицу усилий в лишних связях сооружения Х и используя матрицы L и LF, элементы которых есть внутренние усилия (изгибающие моменты, поперечные и продольные) от X1 = 1, X2 = 1, …, Xj = 1, …, Xn = 1 и заданной нагрузки, в соответствии с принципом независимости действия сил, получим:

. (16.25)

S – матрица внутренних усилий (изгибающих моментов M(F), поперечных Q(F) и продольных N(F) сил в заданном сооружении от силового воздействия. Число строк этой матрицы совпадает с числом строк матрицы L и LF, а число столбцов – с числом столбцов матрицы LF, т.е. с количеством комбинаций внешних воздействий.

С учётом выражения (16.24) матричное соотношение (16.25) в окончательной форме запишется:

S = LF – L(LTBL)-1(LTBLF). (16.26)

Для кинематической проверки расчёта заданного статически неопределимого сооружения на силовое воздействие производится сопряжение окончательных эпюр внутренних усилий, описываемых элементами матрицы S, с эпюрами внутренних усилий в единичных состояниях основной системы метода сил, описываемых элементами матрицы L. Если расчёт произведён правильно, то результат сопряжения вышеупомянутых эпюр в матричной форме даст нулевую матрицу, т.е.

LT B S = 0. (16.27)

В расчётах плоских статически неопределимых рамных и балочных систем в соотношениях (16.26) и (16.27) матрицы L, LF будут содержать блоки, учитывающие только изгибающие моменты, а матрица В – только элементы, соответствующие изгибным деформациям сооружения. С учётом данного обстоятельства, когда L = M, LF = MF, B = BM, S = M(F), имеем

M(F) = MF – M(MT BM M)-1(MT BM MF), (16.28)

MT BM M(F) = 0. (16.29

16.8. Пример расчёта статически неопределимой рамы методом сил в матричной форме

В раме, показанной на рис. 16.14,а, построить эпюры внутренних усилий отдельно от постоянной равномерно распределённой нагрузки q1 = 20 кН/м, первой временной равномерно распределённой нагрузки q2 = 12 кН/м, второй временной нагрузки – сосредоточенной силы F = 24 кН, а также вычислить расчётные изгибающие моменты в её характерных сечениях. Соотношение между изгибными жесткостями поперечных сечений ригеля и стоек задано: EJp: EJc = 2: 0,5.

Порядок расчёта рамы на заданные воздействия в матричной форме определяется соотношением (16.28):

M(F) = MF – M(MT BM M)-1(MT BM MF).

1. Подготовительный этап расчёта: определение степени статической неопределимости рамы (nst = 3 × 3 – 7 = 2), выбор основной системы метода сил (рис. 16.14,б), построение эпюр изгибающих моментов в основной системе от Х1 = 1, Х2 = 1 (рис. 16.14,в,г), постоянной нагрузки (рис. 16.15,а), первой временной (рис. 16.15,б) и второй временной нагрузки (рис. 16.15,в).

 

2. Нумерация грузовых участков и сечений, необходимых для формирования матриц изгибающих моментов M и MF (рис. 16.16).

3. Формирование матриц изгибающих моментов M и MF от Х1 = 1, Х2 = 1 и заданных нагрузок (постоянной и временных) в основной системе метода сил в соответствии с принятой нумерацией грузовых участков и сечений. Правило знаков для элементов этих матриц было сформулировано ранее (см. пример 13.4.1 тринадцатой лекции).

 

 

 

4. Формирование матрицы внутренней упругой податливости рамы, учитывающей изгибные деформации её грузовых участков. Примем EJp = 2EJ, EJс = 0,5EJ (EJ – произвольное число).

,

где ;

;.

 

5. Вычисление элементов матрицы внешней податливости принятой для расчёта основной системы метода сил, или матрицы коэффициентов при неизвестных d системы канонических уравнений.

d = МT BМ М = .

6. Вычисление элементов матрицы грузовых коэффициентов, или матрицы свободных членов DF системы канонических уравнений

DF = МT BМ МF = .

7. Обращение матрицы внешней податливости d.

d × d-1 = Е, .

 

1,92b11 – 0,5b21 = 1,

-0,5b12 + 6b21 = 0.

Отсюда b11 = 0,533, b21 = 0,044.

 

1,92b12 – 0,5b22 = 0,

-0,5b12 + 6b22 = 1.

 

Отсюда b12 = 0,044, b22 = 0,170.

d-1 = (МT BМ М)-1 = .

 

8. Вычисление элементов матрицы неизвестных метода сил Х.

X = –d-1 DF = –(МT BМ М)-1T BМ МF) =

 

= =

= .

 

9. Вычисление элементов матрицы изгибающих моментов M(F) в заданной раме от постоянной и временной нагрузок.

 

10. Кинематическая проверка правильности вычисления элементов матрицы M(F), являющихся ординатами эпюр изгибающих моментов в заданной раме от постоянной, первой и второй временных нагрузок в сечениях, показанных на рис. 16.16.

.

Относительные погрешности вычислений при сопряжении окончательных эпюр изгибающих моментов, описываемых элементами матрицы M(F), с соответствующими эпюрами от Х1 = 1 и Х2 = 1 в основной системе метода сил, описываемых элементами матрицы М, не превышают 0,07 %.

11. Построение эпюр изгибающих моментов в заданной раме Mconst от постоянной нагрузки q1 = 20 кН/м – по элементам первого столбца матрицы M(F) (рис. 16.17); от первой временной нагрузки q2 = 12 кН/м – по элементам второго столбца матрицы M(F) (рис. 16.18); от второй временной нагрузки F = 24 кН – по элементам третьего столбца матрицы M(F) (рис. 16.19).

 

 

 

12. Построение эпюр поперечных (Qconst, , ) и продольных сил (Nconst, , ) от каждого из вышеупомянутых воздействий (рис. 16.17, 16.18, 16.19).

13. Статическая проверка условий равновесия рамы в целом. Здесь эту проверку проведём только в случае действия постоянной нагрузки (рис. 16.20).

åFx = 0, 11,28 – 7,70 – 3,58 = 0, 0 º 0;

åFy = 0, 41,28 + 149,73 + 100,55 + 28,44 – 20×16 = 0, 0 º 0;

åmom(F)B = 0, 41,28×6 – 100,55×6 – 28,44×10 – 20×6×3 +

+ 20×10×5 = 1247,68 – 1247,70 = –0,02.

Относительная погрешность вычислений при проверке последнего условия равновесия составляет

× 100 % = 0,0016 %.

 

14. Вычисление расчётных изгибающих моментов в характерных сечениях рамы (табл. 2).

Таблица 2

№ сечений Изгибающие моменты, кН×м Расчётные изгибающие моменты, кН×м
Mconst max min
  -33,85 13,61 19,2 -1,04 -33,85
  -146,15 -13,61 -19,2 -146,15 -178,96
  -123,04 -41,21 9,6 -113,44 -164,25
  -56,96 -66,8 -9,6 -56,96 -133,36
  -46,22 -52,8 14,4 -31,82 -99,02
  16,89 -26,4 7,2 24,09 -9,51
  10,74 14,0 24,0 48,74 10,74
  23,11 -27,61 28,8 51,91 -4,50
  -33,85 13,61 19,2 -1,04 -33,85

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений | Вопросы для самопроверки. 1. Что называется основной системой метода сил?
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 568; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.