Тема: двухфакторный дисперсионный анализ

1^o. Математическая модель метода

В двухфакторном дисперсионном анализе изучается влияние двух независимых факторов А и В на изменчивость признака Х нормально распределенной генеральной совокупности. При этом фактор А может действовать на т своих уровнях: А ₁, А ₂, …, А_п, а фактор В – на l уровнях: В ₁, В ₂, …, В_l. Далее будем рассматривать случай, когда на каждом совмещенном уровне А_iB_j производится выборка одинакового объема п, и все выборки на этих уровнях независимы. Выборочные данные можно представить таблицей:

В А	В 1	…	Вj	…	Bl
A 1 … Ai … Am	x 111 … x 11 n … xi 11 … xi 1 n … xm 11 … xm 1 n	… … … … …	x 1 j 1 … x 1 jn … xij 1 … xijn … xmj 1 … xmjn	… … … … …	x 1 l 1 … x 1 ln … xil 1 … xiln … xml 1 … xmln

Т.о., объем объединенной выборки п * = l · m · n. Объединенная выборка производится из генеральной совокупности, обладающей изучаемым признаком, задаваемым нормально распределенной случайной величиной, т.е. Х ~ N (a; s), причем математическое ожидание М (Х) = а и стандартное отклонение s считаются неизвестными. В двухфакторном дисперсионном анализе для выборочных значений признака x_ijk принимается за основу линейная вероятностная схема: x_ijk = + a _i + b _j + g _ij + e _ijk, где x_ijk – k -йрезультат наблюдения на i -м уровне фактора А и на j -м уровне фактора В, – несмещенная оценка М (Х) = а, a _i – эффект действия фактора А на его i -м уровне, b _j – эффект действия фактора В на его j -м уровне, e _ijk – нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием на каждом уровне, обусловленная влиянием неучтенных факторов и условий.

Ограничения метода для рассматриваемой модели:

Ø уровней (градаций) действия каждого фактора должно быть не менее двух;

Ø объем выборки на каждом совмещенном уровне действия факторов должен быть не менее двух;

Ø каждой градации одного фактора должно соответствовать одинаковое число градаций другого фактора;

Ø должно выполняться равенство дисперсий всех генеральных совокупностей, к которым принадлежат полученные независимые выборки по всем совмещенным уровням действия факторов.

В двухфакторном дисперсионном анализе возможны 3 комплекса гипотез в связи с возможным влиянием на признак только фактора А, только фактора В, а также совместного влияния обоих факторов.

1- й комплекс гипотез.

Основная гипотеза Н_А: различие признака на разных уровнях фактора А является не более выраженным, чем случайные различия этого признака внутри каждого уровня этого фактора.

Альтернативная гипотеза : различие признака на разных уровнях фактора А является более выраженным, чем случайные различия этого признака внутри каждого уровня этого фактора.

2- й комплекс гипотез.

Основная гипотеза Н_В: различие признака на разных уровнях фактора В является не более выраженным, чем случайные различия этого признака внутри каждого уровня этого фактора.

Альтернативная гипотеза : различие признака на разных уровнях фактора В является более выраженным, чем случайные различия этого признака внутри каждого уровня этого фактора.

3- й комплекс гипотез.

Основная гипотеза Н_АВ: влияние фактора А на признак на разных уровнях фактора В одинаково, и наоборот.

Альтернативная гипотеза : влияние фактора А на признак на разных уровнях фактора В различно, и наоборот.

Кроме того могут рассматриваться 3 модели в зависимости от того, детерминированы уровни факторов или эти уровни – результат случайного отбора.

Модель I: выявляется действие факторов с детерминированными уровнями (например, при исследовании качества продукции один из факторов – станки, тогда фактор имеет детерминированные уровни, если в наблюдении участвуют все станки или конкретно заданные станки).

Модель II: выявляется действие факторов, уровни которых – результат случайного отбора (например, при исследовании качества продукции для наблюдения случайно отобрана часть станков).

Модель III: фактор А соответствует 1-й модели, а фактор В – 2-й модели.

2^o. Расчетные формулы и схема дисперсионного анализа

Для ускорения расчетов рекомендуется использовать следующую схему проведения двухфакторного дисперсионного анализа:

1) Найти суммы и суммы квадратов наблюдаемых значений для каждого совмещенного уровня А_iB_j соответственно: T_ij = , P_ij = , где п – число наблюдений на каждом совмещенном уровне факторов А, имеющем т уровней действия, и В, имеющего l уровней действия; объем объединенной выборки равен п * = lтп.

2) Найти суммы полученных значений T_ij для каждого уровня фактора А: u_i = , и для каждого уровня фактора В: v_j = .

3) Найти сумму P_ij по всем совмещенным уровням: w = .

4) Найти суммы: u = = , a =, b = и c = .

5) Найти общую вариативность признака Q = w –· u ².

6) Найти A -факторную вариативность признака Q ₁ = · a – · u ².

7) Найти B -факторную вариативность признака Q ₂ = · b – · u ².

8) Найти остаточную вариативность признака Q ₄ = w – · c.

9) Найти вариативность признака, обусловленную совместным воздействием на него факторов А и В: Q ₃ = Q – Q ₁ – Q ₂ – Q ₄.

10) Найти несмещенные точечные оценки А- факторной s ₁², В- факторной s ₂², АВ -факторной s ₃² и остаточной s ₄² дисперсий: s ₁² = Q ₁/(т – 1); s ₂² = Q ₂/(l – 1); s ₃² = Q ₃/[(l – 1)·(m – 1)]; s ₄² = Q ₄/(п * – l · т).

11) Используя ниже приведенную таблицу, найти наблюдаемые K _н и для заданного уровня значимости a критические значения K _кр критерия проверки соответствующих гипотез с правосторонней критической областью и сделать заключение о значимости влияния соответствующих факторов на исследуемый признак генеральной совокупности:

Модели	Н 0	K н	K кр
Модель I (уровни факторов А и В детерминированы)	НА НВ НАВ	s 1^2/ s 4^2 s 2^2/ s 4^2 s 3^2/ s 4^2	F a(k 1 = m – 1; k 2 = n * – lm) F a(k 1 = l – 1; k 2 = n * – lm) F a(k 1 = (l –1)·(m –1); k 2 = n * – lm)
Модель II (уровни факторов А и В случайны)	НА НВ НАВ	s 1^2/ s 3^2 s 2^2/ s 3^2 s 3^2/ s 4^2	F a(k 1 = m – 1; k 2 = (l –1)·(m –1)) F a(k 1 = l – 1; k 2 = (l –1)·(m –1)) F a(k 1 = (l –1)·(m –1); k 2 = n * – lm)
Модель III (уровни фактора А детерминированы, а В – случайны)	НА НВ НАВ	s 1^2/ s 4^2 s 2^2/ s 3^2 s 3^2/ s 4^2	F a(k 1 = m – 1; k 2 = n * – lm) F a(k 1 = l – 1; k 2 = (l –1)·(m –1)) F a(k 1 = (l –1)·(m –1); k 2 = n * – lm)

Пример. Каждый из 3-х менеджеров на тестовом занятии предложил свой проект модернизации двух конкретных предприятий. Четыре эксперта независимо друг от друга выставили оценки разработанным проектам по 10-балльной шкале, принимая во внимание готовность предприятий к предлагаемой модернизации:

	1-е предприятие	2-е предприятие
1-й менеджер	6; 9; 4; 8	7; 8; 8; 9
2-й менеджер	5; 5; 7; 7	8; 7; 6; 7
3-й менеджер	6; 6; 8; 6	7; 8; 8; 8

В предположении, что требования к дисперсионному анализу выполняются, требуется установить на уровне значимости a = 0,05 влияние различия этих проектов и уровня готовности предприятий к предложенной модернизации на оценки экспертов.

Решение. В качестве фактора А будем рассматривать менеджеров, а в качестве фактора В – предприятия, для которых разработаны проекты модернизации. Уровни обоих факторов детерминированы. Число уровней (градаций) А -фактора т = 3, а В -фактора l = 2. На каждом совмещенном уровне А_iB_j имеем п = 4 оценки; объем объединенной выборки п * = lтп = 2·3·4 = 24.

На 5%-м уровне значимости следует проверить следующие комплексы гипотез:

1. Основная гипотеза Н_А: различие оценок экспертов для трех тестируемых менеджеров является не более выраженным, чем случайные различия этих оценок для каждого из менеджера в отдельности, или другими словами, все три проекта практически равноценны. Альтернативная гипотеза : различие между проектами значимо.

2. Основная гипотеза Н_В: различие оценок проектов экспертами для двух предприятий в целом является не более выраженным, чем случайные различия этих оценок для каждого предприятия в отдельности, или, другими словами, готовность предприятий к предлагаемой модернизации практически одинакова. Альтернативная гипотеза : уровень готовности предприятий к предлагаемой модернизации существенно различен.

3. Основная гипотеза Н_АВ: во всех проектах в одинаковой степени отражено различие готовности предприятий к предлагаемой модернизации. Альтернативная гипотеза : в проектах в разной степени выражено различие готовности предприятий к предлагаемой модернизации.

Составляем расчетную таблицу:

	В 1	В 2	ui = ; ui ^2
А 1	Т 11 = 6 + 9 + 4 + 8 = 27 = 27^2 = 729 Р 11 =6^2+ 9^2+4^2+8^2=197	Т 12 = 7 + 8 + 8 + 9 = 32 = 32^2 = 1024 Р 12 =7^2+ 8^2+8^2+9^2=258	u 1 = Т 11 + Т 12 = 59 u 1^2 = 59^2= 3481
А 2	Т 21 = 5 + 5 + 7 + 7 = 24 = 24^2 = 576 Р 21 =5^2+ 5^2+7^2+7^2=148	Т 22 = 8 + 7 + 6 + 7 = 28 = 28^2 = 784 Р 22 =8^2+ 7^2+6^2+7^2=198	u 2 = Т 21 + Т 22 = 52 u 1^2 = 52^2= 2704
А 3	Т 31 = 6 + 6 + 8 + 6 = 26 = 26^2 = 676 Р 31 =6^2+ 6^2+8^2+6^2=172	Т 32 = 7 + 8 + 8 + 8 = 31 = 31^2 = 961 Р 32 =7^2+ 8^2+8^2+8^2=241	u 3 = Т 31 + Т 32 = 57 u 1^2 = 57^2= 3249
vi =; vi ^2	v 1 = Т 11+ Т 21+ Т 31 = 77 v 1^2 = 77^2 = 5929	v 2 = Т 12+ Т 22+ Т 32 = 91 v 1^2 = 91^2 = 8281

Используя данные, полученные в расчетной таблице, находим:

u = u ₁ + u ₂ + u ₃ = 59 + 52 + 57 = 168;

a = u ₁² + u ₂² + u ₃² = 3481 + 2704 + 3249 = 9434;

b = v ₁² + v ₂² = 5929 + 8281 = 14210;

c = = 729 + 1024 + 576 + 784 + 676 + 961 = 4750;

w = = 197 + 258 + 148 + 198 + 172 + 241 = 1214.

Находим общую вариативность оценок экспертов Q = w –· u ² = 1214 – 168²/24 = 38.

Находим вариативность оценок, обусловленную действием фактора А: Q ₁ = · a – · u ² = 9434/8 – 168²/24 = 3,25.

Находим вариативность оценок, обусловленную действием фактора В: Q ₂ = · b – · u ² = 14210/12 – 168²/24 ≈ 8,17.

Находим остаточную вариативность оценок Q ₄ = w – · c = 1214 – 4750/4 = 26,5.

Находим вариативность оценок, обусловленную взаимодействием факторов А и В: Q ₃ = Q – Q ₁ – Q ₂ – Q ₄ = 38 – 3,25 –8,17 – 26,5 = 0,08.

Находим несмещенные точечные оценки А- факторной s ₁², В- факторной s ₂², АВ -факторной s ₃² и остаточной s ₄² дисперсий: s ₁² = Q ₁/(т – 1) = 3,25/2 = 1,625; s ₂² = Q ₂/(l – 1) = 8,17; s ₃² = Q ₃/[(l – 1)·(m – 1)] = 0,04; s ₄² = Q ₄/(п * – l · т) = 26,5/18 ≈ 1,47.

Находим наблюдаемые значения статистического критерия проверки соответствующих основных гипотез:

Ø для гипотезы Н_А: K _н1 = s ₁²/ s ₄² = 1,625/1,47 ≈1,1;

Ø для гипотезы Н_В: K _н2 = s ₂²/ s ₄² = 8,17/1,47 ≈ 5,56;

Ø для гипотезы Н_АВ: K _н3 = s ₃²/ s ₄² = 0,04/1,47 ≈ 0,03.

По табличным значениям критических точек F- критерия Фишера-Снедекора для уровня значимости a = 0,05 и соответствующим степеням свободы: K _кр1 = F _0,05(k ₁ = 2; k ₂ = 18) = 3,55; K _кр2 = F _0,05(k ₁ = 1; k ₂ = 18) = 4,41; K _кр3 = F _0,05(k ₁ = 2; k ₂ = 18) = 3,55.

Поскольку K _н1 < K _кр1, то гипотеза Н_А принимается, т.е. все три проекта практически равноценны.

Поскольку K _н2 > K _кр2, то гипотеза Н_В отклоняется, и принимается альтернативная гипотеза : уровень готовности предприятий к предлагаемой в проектах модернизации существенно различен.

Поскольку K _н3 < K _кр3, то гипотеза Н_АВ принимается, т.е. во всех проектах в одинаковой степени отражено различие готовности предприятий к предлагаемой модернизации (как следует из оценок экспертов, во всех проектах не учтено отличие этой готовности).

Дата добавления: 2014-01-15