Составляющая дисперсионного анализа

Тема: ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА КАК

Поиск адреса электронной почты».

Поиск файла».

1) Ввести в поле поиска системы FTP Search имя файла ICQ2000. Существует возможность уточнить параметры поиска файла (тип файла, домен и др.) и параметры вывода списка найденных ссылок (количество, формат и др.).

2) Пользователю будет представлен список со ссылками на FTP-сервера, хранящих файл с заданным именем.

Активизация любой из ссылок приводит к началу процесса загрузки файла на локальный компьютер.

Www.whowhere.lycos.com является специализированной поисковой системой, позволяющей искать адрес электронной почты по имени человека или, наоборот, имя человека, хозяина определенного адреса электронной почты. В окно поиска необходимо ввести имя и фамилию, после чего система осуществит поиск e-mail адреса в базе данных, содержащей абонентов зарегистрированных в системе.

Ввести в поле поиска системы WhoWhere? имя и фамилию. Можно также ввести предполагаемый домен, в котором находится почтовый сервер.

Содержание отчета и его форма

Ознакомьтесь с теоретическим обоснованием. Выполните все описанные задания, письменно оформите отчет, который должен содержать:

- Тему, цель лабораторной работы,

- краткий конспект теоретического материала,

- перечень выполненных заданий,

- вывод.

Контрольные вопросы и защита работы

Контрольные вопросы:

- Что представляет собой поисковый сервер?

- Какие существуют поисковые системы общего назначения?

- Какие вы знаете специализированные поисковые системы?

Защита лабораторной работы включает:

- Выполнение работы на компьютере,

- ответы на контрольные вопросы,

- предоставление отчета.

1^o. Цель планирования эксперимента

На примере дисперсионного анализа можно показать, что методы математической статистики не только сводятся к пассивной обработке результатов наблюдений, а могут активно регулировать процесс формирования выборки для повышения ее информативности.

Действительно, при дисперсионном анализе с увеличением числа факторов, воздействующих на признак генеральной совокупности, растет число необходимых наблюдений. Так, если имеется k таких факторов (А ₁, А ₂, …, А_k)причем j -й фактор действует на m_j уровнях, то для проведения хотя бы по 2 наблюдения для каждой комбинацией уровней необходимо выполнить 2· m ₁· m ₂·…· m_k наблюдений. Например, при k = 4 факторах и 5-ти уровнях каждого из них необходимо выполнить не менее 2·5·5·5·5 = 1250 наблюдений.

В связи с таким огромным числом требуемых наблюдений возникает задача планирования эксперимента с целью, во-первых, сделать число наблюдений по возможности, гораздо меньшим, а, во-вторых, получить достаточно аргументированные статистические выводы. Т.о., цель планирования эксперимента как составной части многофакторного дисперсионного анализа заключается в получении большего объема информации, минимизируя объем совокупной выборки.

Определим ход эксперимента.

В силу множественности действия независимых факторов на случайную величину генеральной совокупности Х на уровнях m ₁; m ₂; …; m_k можно считать, что результат наблюдения всех k факторов на конкретном совмещенном уровней, представляющем определенную комбинацию уровней i ₁, i ₂, …, i_k (где i ₁ = , …, i_k = ) является нормально распределенной величиной с неизвестным средним и неизвестной дисперсией s², не зависящей от уровней действия факторов. Для линейной модели действия независимых факторов должно выполняться равенство = . Следовательно, планирование эксперимента можно сформулировать следующим образом: требуется указать все возможные комбинации (i ₁, i ₂, …, i_k) совмещенных уровней действия факторов, позволяющих при не слишком большом числе наблюдений достаточно убедительно проверить гипотезы об отсутствии действия каждого фактора (как в отдельности, так и совместно с другими), т.е. гипотезы Н ₀^{( s )}: .

Планом эксперимента называется составленный перечень тех комбинаций (i ₁, i ₂, …, i_k) _s из всех возможных комбинаций совмещенных уровней, именно для которых потребуется произвести статистические наблюдения. Предполагается, что для каждой комбинации, входящей в план эксперимента, выполняется только одно наблюдение.

2^o. Способы построения планов эксперимента [Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учебное пособие. – М.: Изд-во РУДН, 1994. – 164 с. ]

Рассмотрим случай, когда число уровней действия для всех факторов одинаково, т.е. m ₁ = m ₂ = … = m_k = т. Потребуем, чтобы для любых факторов А_{j 1}и A_{j 2}и уровней их действия i_{j 1}и i_{j 2}в план эксперимента входила, по крайней мере, одна комбинация, содержащая пару i_{j 1}и i_{j 2}, т.е. хотя бы в одном наблюдении фактор А_{j 1}подействовал на уровне i_{j 1}, а фактор A_{j 2}– на уровне i_{j 2}. С другой стороны, для минимизации числа наблюдений целесообразно ограничиться только планами, в которых каждая пара (i_{j 1}, i_{j 2}) уровней действия факторов А_{j 1}и A_{j 2}встречается не более одного раза. Т.е. согласно этим двум требованиям получаем, что каждая пара уровней двух любых факторов должна входить в план эксперимента ровно один раз. При этом любой план, составленный при этих условиях, будет содержать ровно т ² наблюдений.

Следует отметить, что такие планы эксперимента можно составить не всегда. Например, в случае, когда число уровней у каждого фактора т = 6, или в случае, когда число факторов k > m.

Приведем примеры таких планов.

Пусть имеем k = 3 факторов и т = 3 уровней у каждого фактора. План эксперимента будет содержать т ²= 9 комбинаций уровней:

Пусть имеем k = 3 факторов и т = 4 уровней у каждого фактора. План эксперимента будет содержать т ²= 16 комбинаций уровней:

Пусть имеем k = 3 факторов и т = 5 уровней у каждого фактора. План эксперимента будет содержать т ²= 25 комбинаций уровней:

Отметим, что первые цифры комбинаций уровней образуют так называемый «латинский квадрат». В последнем случае «латинский квадрат» 5-го порядка, полученный циклическим сдвигом первой строки на единицу, имеет вид:

(в «латинском квадрате» т -го порядка каждое из натуральных чисел от 1 до т в каждой строке и в каждой строке встречается ровно один раз).

После заполнения расчетной таблицы значениями наблюдений на уровнях, указанных в полученном плане, эти значения в каждой клетке складываются и при полученной сумме указывается комбинация соответствующих уровней в виде индекса, т.е. в каждой клетке таблицы из п ² клеток получаем число x_ijk, где i – уровень 1-го фактора, j – уровень 2-го фактора, k – уровень третьего фактора соответствующего плана.

После этого начинается расчет наблюдаемых критериев. Рассмотрим случай k = 3, т = 5, a = 0,05.

Общая вариативность Q = = (т ² – 3 m + 2)·+ (m – 1)· s ₁² + (m – 1)· s ₂²+ (m – 1)· s ₃², где s ₁² = , s ₂² =, s ₃²= – несмещенные точечные оценки дисперсий, обусловленных действием независимых 1-м, 2-м и 3-м фактором соответственно; – несмещенная точечная оценка дисперсии, обусловленной совместным действием всех трех факторов; = , = , = – групповые средние по наблюдениям, в которых 1-й, 2-й и 3-й факторы действовали на i -м, j -м и k -муровнях соответственно; = – выборочное среднее объединенной выборки.

Проверку гипотез о незначимости действия факторов находят сравнением наблюдаемых значений критериев K _н(1) = s ₁²/, K _н(2) = s ₂/, K _н(3) = s ₃²/, и критическими значениями правостороннего критерия Фишера-Снедекора K _кр1= K _кр2= K _кр3= F _a(k ₁ = т – 1; k ₂ = т ² – 3 m + 2).

Пусть получены следующие результаты наблюдений:

(–4; 2; 3)111	(0; 1; 0)222	(–2; 1; 3)333	(–3; –1; 4)444	(–2; 0; 2)555
(–1; 1; 3)234	(–1; 0; 3)345	(–2; 0; 2)451	(–4; –1; 4)512	(0; 1; 2)123
(–1; 0; 1)352	(–1; 0; 2)413	(–2; 1; 2)524	(–2; –2; 2)135	(–1; 0; 2)241
(–2; 1; 2)425	(0; 1; 1)531	(1; 1; 1)142	(–1; 1; 1)253	(1; 2; 0)314
(1; 1; –1)543	(2; 0; –1)154	(–2; –1; 0)215	(0; 0; 2)321	(1; 0; 1)432

Суммируя результаты наблюдений в каждой клетке таблицы, получаем значения x_ijk:

1111	1222	2333	0444	0555
3234	2345	0451	–1512	3123
0352	1413	1524	–2135	1241
1425	2531	3142	1253	3314
1543	1154	–3215	2321	2432

Находим = = (1 + 1 + 2 + 0 + 0 + 3 + 2 + 0 – 1 + 3 + 0 + 1 + 1 – 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 – 3 + 2 + 2)/25 = 1.

Находим согласно комбинациям уровней, приведенным в плане:

= = (х _{1 11} + х _{1 23} + х _{1 35} + х _{1 42} + х _{1 54})/ т = (1 + 3 – 2 + 3 + 1)/5 = 6/5 = 1,2;

= = (х _{2 22} + х _{2 34} + х _{2 41} + х _{2 53} + х _{2 15})/ т = (1 + 3 + 1 + 1 – 3)/5 = 3/5 = 0,6;

= = (х _{3 33} + х _{3 45} + х _{3 52} + х _{3 14} + х _{3 21})/ т = (2 + 2 + 0 + 3 + 2)/5 = 9/5 = 1,8;

= = (х _{4 44} + х _{4 51} + х _{4 13} + х _{4 25} + х _{4 32})/ т = (0 + 0 + 1 + 1 + 2)/5 = 4/5 = 0,8;

= = (х _{5 55} + х _{5 12} + х _{5 24} + х _{5 31} + х _{5 43})/ т = (0 – 1 + 1 + 2 + 1)/5 = 3/5 = 0,6.

Находим согласно комбинациям уровней, приведенным в плане:

= = (х _{1 1 1} + х _{5 1 2} + х _{4 1 3} + х _{3 1 4} + х _{2 1 5})/ т = (1 – 1 + 1 + 3 – 3)/5 = 1/5 = 0,2;

= = (х _{2 2 2} + х _{1 2 3} + х _{5 2 4} + х _{4 2 5} + х _{3 2 1})/ т = (1 + 3 + 1 + 1 + 2)/5 = 8/5 = 1,6;

= = (х _{3 3 3} + х _{2 3 4} + х _{1 3 5} + х _{5 3 1} + х _{4 3 2})/ т = (2 + 3 – 2 + 2 + 2)/5 = 7/5 = 1,4;

= = (х _{4 4 4} + х _{3 4 5} + х _{2 4 1} + х _{1 4 2} + х _{5 4 3})/ т = (0 + 2 + 1 + 3 + 1)/5 = 7/5 = 1,4;

= = (х _{5 5 5} + х _{4 5 1} + х _{3 5 2} + х _{2 5 3} + х _{1 5 4})/ т = (0 + 0 + 0 + 1 + 1)/5 = 2/5 = 0,4.

Находим согласно комбинациям уровней, приведенным в плане:

= = (х _{11 1} + х _{45 1} + х _{24 1} + х _{53 1} + х _{32 1} )/ т = (1 + 0 + 1 + 2 + 2)/5 = 6/5 = 1,2;

= = (х _{22 2} + х _{51 2} + х _{35 2} + х _{14 2} + х _{43 2} )/ т = (1 – 1 + 0 + 3 + 2)/5 = 5/5 = 1;

= = (х _{33 3} + х _{12 3} + х _{41 3} + х _{25 3} + х _{54 3} )/ т = (2 + 3 + 1 + 1 + 1)/5 = 8/5 = 1,6;

= = (х _{44 4} + х _{23 4} + х _{52 4} + х _{31 4} + х _{15 4} )/ т = (0 + 3 + 1 + 3 + 1)/5 = 8/5 = 1,6;

= = (х _{55 5} + х _{34 5} + х _{13 5} + х _{42 5} + х ₂₁₅)/ т = (0 + 2 – 2 + 1 – 3)/5 = –2/5 = – 0,4.

Находим общую вариативность Q = = (1 ­– 1)² + (1 ­– 1)² + (2 – 1)² + (0 – 1)² + (0 – 1)² + (3 – 1)² + (2 – 1)² + (0 ­– 1)² + (– 1 ­– 1)² + (3 – 1)² + (0 – 1)² + (1 – 1)² + (1 – 1)² + (– 2 – 1)² + (1 ­– 1)² + (1 – 1)² + (2 – 1)² + (3 – 1)² + (1 – 1)² + (3 – 1)² + (1 ­– 1)² + (1 ­– 1)² + (– 3 – 1)² + (2 – 1)² + (2 – 1)² = 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 4 + 1 + 9 + 1 + 4 + 4 + 16 + 1 + 1 = 54.

Находим оценки факторных дисперсий: s ₁² = = [(1,2 – 1)² + (0,6 – 1)² + (1,8 – 1)² + (0,8 – 1)² + (0,6 – 1)²] =(0,04 + 0,16 + 0,64 + 0,04 + 0,16) = 1,3; s ₂² = = [(0,2 – 1)² + (1,6 – 1)² + (1,4 – 1)² + (1,4 – 1)² + (0,4 – 1)²] = (0,64 + 0,36 + 0,16 + 0,16 + 0,36) = 2,1; s ₃²== [(1,2 – 1)² + (1 – 1)² + (1,6 – 1)² + (1,6 – 1)² + (– 0,4 – 1)²] = (0,04 + 0,36 + 0,36 + 1,96) 3,4.

Находим оценку многофакторной дисперсии = (54 – 4·1,3 – 4·2,1 – 4·3,4) ≈ 2,23.

Находим наблюдаемые значения критериев: K _н(1) = s ₁²/= 1,3/2,23 ≈ 0,58, K _н(2) = s ₂/= 2,1/2,23 ≈ 0,94, K _н(3) = s ₃²/= 3,4/2,23 ≈ 1,52.

По табличным значениям критических точек F- критерия Фишера-Снедекора для уровня значимости a = 0,05 и соответствующим степеням свободы: K _кр(1)= K _кр(2)= K _кр(3)= F _a(k ₁ = т – 1; k ₂ = т ² – 3 m + 2) = F _0,05(k ₁ = 4; k ₂ = 12) = 3,26.

Поскольку K _н(1) < K _кр(1), то гипотеза об отсутствии влияния 1-го фактора принимается.

Поскольку K _н(2) < K _кр(2), то гипотеза об отсутствии влияния 2-го фактора принимается.

Поскольку K _н(3) < K _кр(3), то гипотеза об отсутствии влияния 3-го фактора принимается.

В случае k = 4 общая вариативность Q вычисляется по формуле Q = = (т ² – 4 m + 3)·+ (m – 1)· s ₁² + (m – 1)· s ₂²+ (m – 1)· s ₃² + (m – 1)· s ₄², и т.д.

Дата добавления: 2014-01-15