КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теоремы о модуле и аргументе
Теорема 2.1. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. Составив произведение двух комплексных чисел z == r (+ i sin) и , получаем: . (2.1) Отсюда заключаем: и () = . ■ Пользуясь векторами для изображения комплексных чисел, можно сказать, что вектор произведения получается из вектора множимого z путем поворота последнего на угол arg z 1 и растяжения в раз. В частном случае, когда = 1, умножение сводится к простому повороту: так, например, умножению на i соответствует поворот на 90°, а умножению на -1 — поворот на 180°. В случае, когда = 0 (- число положительное), умножение сводится к одному лишь растяжению. Равенства (2.1) легко распространяются на случай произведения произвольного числа комплексных сомножителей. Для такого произведения имеют место равенств в частности, если все сомножители равны между собой, (2.2) (2.3) Равенства (2.2), (2.3) называются формулами Муавра. Полагая z = , определим как комплексное число, которое, будучи возведено в степень n равно z. Модуль этого числа, очевидно, будет равен , аргумент же будет равен , где k - любое целое число. Давая k значения 0,1,2,..., n - 1, получим n разных значений аргумента выражения , следовательно, имеет n различных значений согласно формуле = или = , . Геометрически эти n значений выражения изобразятся вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность с центром в нулевой точке и радиуса. Пример.2.1 Найти значения .
Решение.
, . Значения корней приведены на рис.2. 2Корень пятой степени из 1 представлен на рис 2.3 Теорема 2. 2. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя. По определению частного находим: ■ Пример 2 Решить уравнение Если коэффициенты квадратного уравнения действительные числа, то комплексные корни встречаются сопряженными парами. Пример 3 Решить уравнение. Решение а). Тогда корни уравнения Ответ: ; Пример 4 Решить уравнение. Ответ: ;; Пример 5 Составим квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнем которого является а=
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 2950; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |