Диференціальне рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку має вид або .

Загальним розв’язком цього рівняння є функція виду y = f (x,C), яка при довільних значеннях сталої величини є розв’язком цього рівняння. Для знаходження частинного (єдиного) розв’язку необхідно знати початкові умови, які для рівняння першого порядку записують у вигляді або .

Тоді задача пошуку розв’язку y = f (x,C), що задовольняє умови y = y₀ при x = x₀ називається задачею Коші. Геометрично функція y = f (x,C) описує множину інтегральних кривих на числовій площині.

Означення. Множина кривих, залежних від параметра, називається сім’єю кривих.

Таким чином, задачу інтегрування ДР пер­шого порядку можна розглядати як задачу пошуку рівняння сім’ї кривих y = f (x,C) за ДР, яке описує цю сім’ю.

Для наближеного знаходження сім’ї інтегральних кривих використовується графічний метод. ДР першого порядку задає кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в кожній точці (х, у).

Якщо в кожній точці (х, у) визначений напрям деякого век­тора, то кажуть, що задано поле напрямів. ДР задає поле напрямів дотичних. Ці лінії, на яких дотичні мають однаковий нахил, називаються ізоклінами. Рівняння ізоклін Побудував­ши графіки ізоклін, можна наближено провести інтегральні криві.

Не існує єдиного універсального методу, за допомогою якого можна розв’язати диференціальні рівняння першого порядку. Існує певний клас рівнянь, які можна розв’язати (проінтегрувати). Розглянемо такі рівняння.

Дата добавления: 2014-01-15