Определение аффинных преобразований

План лекции

Тема 2

Аффинные преобразования – введение в тему.

В Компютерной графикешироко применяют Аффинные преобразования, наряду с перспективными и рядом других. Однако основа всех преобразований – это аффинные преобразования. Вследствие этого введение в компьютерную графику следует начать со знакомства именно с аффинными преобразованиями.

1 Определение аффинных преобразований

2 Растяжения и сжатия

3 Гомотетия

4 Что аффинные преобразования сохраняют

5 Что могут аффинные преобразования

6 Методы решения графических задач с помощью аффинных преобразований

Одно из аффинных преобразований – растяжение (сжатие). Если растянуть вдоль какого-то направления круг, то получится лекальная кривая - эллипс.

Если растянуть квадрат в направлении, параллельном одной паре сторон, то получится прямоугольник. Если же квадрат растянуть или сжать в направлении его диагонали, то получится параллелограмм.

Как строго определить, что такое растяжение и сжатие?

Прежде всего растяжения и сжатия, о которых пойдет речь, в определенном смысле, равномерные.

Эта равномерность означает, что все кусочки плоскости растягиваются или сжимаются одинаково.

Кроме того, когда растягивают или сжимают квадрат, его стороны -- отрезки остаются отрезками. Равномерное сжатие или растяжение можно представить, если нарисовать какую-нибудь фигуру на шаре воздушном. Если шар надувается, то фигура растягивается, а если шар сдувается, то фигура сжимается, причем эти преобразования оказываются равномерными.

Такие равномерные растяжения (сжатия) называют аффинными преобразованиями.

Предварительные определения.

Преобразованием называют отображение множества на само себя.

Преобразование плоскости называют аффинным, если оно взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая.

Преобразование называют взаимно однозначным, если разные точки оно переводит в разные, и в каждую точку переходит какая-то точка.

Отображение называют взаимно однозначным (иначе - биективным), если разные элементы переходят в разные, и в каждый элемент переходит какой-то элемент.

Частный случай аффинных преобразований это просто движение без какого-либо сжатия или растяжения. Например, автомобиль на дороге. Движения — это параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации.

Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой.

Рис 1. Примеры движений плоскости с нарисованным на ней домиком.

Рис 2. Примеры аффинных преобразований плоскости с нарисованным на ней домиком.

Обозначим множество движений плоскости как М_от, а множество аффинных преобразований как Аff. Тогда верно следующее утверждение.

Дата добавления: 2014-01-15