Термодинамические характеристики политропического процесса

ПОЛИТРОПИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

Термодинамические характеристики адиабатного процесса

АДИАБИТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

pv^k = const

dq = du + dl = 0; du = - dl; dl = - du = u₁ – u₂;

1. l_1,2 = c_v(T₂ – T₁)

pv = RT; pdv + vdp = RdT; dT = (pdv + vdp)/R – в уравнение c_vdT + pdv = 0(du + dl = 0), получим

c_v(pdv + vdp)/R + pdv = 0 или (c_v + R) pdv + c_vvdp = 0, где c_v + R = c_p

Тогда c_ppdv + c_vvdp = 0;

kpdv + vdp = 0,

kdv/v + dp/p = o,

где k = c_p/c_v

После интегрирования получим klnv + lnp = const или

2. pv^k = const

Исключив из 2 р = RT/v, получим RTv^k-1 = const или

3. Tv^k-1 = const

Исключив из 2 v = RT/p, получим p(RT/p)^k = const или

4. T/p ^(k-1)/k = const

Из 2, 3, 4 после их преобразований: p₁v₁^k = p₂v₂^k;

T₁v₁^k = T₂v₂^k; T₁/p₁ ^(k-1)/k = T₂/p₂ ^(k-1)/k получаем:

p₁/p₂ = (v₂/v₁)^k-1

T₁/T₂ = (v₂/v₁)^k-1

T₁/T₂ = (p₁/p₂)^(k-1)/k

Для адиабатического процесса после деления уравнения Майера c_p – c_v = R на c_v имеем

c_p /c_v -1 = R/c_v или c_v = R/(k-1).

После деления уравнения Майера c_p – c_v = R на c_p имеем

(1 – 1/k) = R/c_p или c_p = kR/(k-1)

Теплоёмкость:

с = 0

Удельная работа:

l_1-2 = (p₂v₂ – p₁v₁)/(k-1) = p₂v₂/(k-1)(1 – (p₁/ p₂)^(k-1)/k) =

R(T₂ – T₁)/(k-1)

Теплота:

q = 0

Изменение:

∆u = c_v(T₁ – T₂)

∆i = c_p(T₁ – T₂)

∆s = 0

pvⁿ = const

1. dq = cdT = di – vdp = c_pdT – vdp;

2. dq = cdT = du + pdv = c_vdT + pdv;

Преобразовав и разделив 1 на 2, получим (c - c_p)/ (c – c_v) = - (vdp/pdv);

Принимая n = (c - c_p)/(c – c_v), получим n = - (vdp/pdv), откуда npdv = - vdp или n(dv/v) + dp/p = 0,

nlnv + lnp = 0

После интегрирования получаем ln(pvⁿ) = const или

pvⁿ = const.

Из n = (c - c_p)/(c – c_v) получаем n(c – c_v) = c - c_p,

с(n – 1) = c_v(n – (c_p/ c_v)) = c_v(n – k), откуда c = c_v(n – k)/ (n – 1)

Соотношения между параметрами:

p₁/p₂ = (v₂/v₁)ⁿ

T₁/T₂ = (v₂/v₁)ⁿ

T₁/T₂ = (p₁/p₂)^n-1

Теплоёмкость:

с = c_v(n-k)/(n-1)

Удельная работа:

l_1-2 = (p₂v₂ – p₁v₁)/(n-1) = p₂v₂/(n-1)(1 – (p₁/ p₂)^(n-1)/n) =

R(T₂ – T₁)/(n-1)

Теплота:

q = c_v(n-k)/(n-1) (T₂ – T₁)

Изменение:

∆u = c_v(T₂ – T₁)

∆i = c_p(T₂ – T₁)

∆s = c_v(n-k)/(n-1)ln(T₂ /T₁)

Таблица значений показателя политропы n и удельной теплоёмкости c для термодинамических процессов

Показа-тели	Термодинамический процесс
Политропич.	Адиабатич.	Изобарич.	Изохорич.	Изотермич.
s = const	p = const	v = const	T = const
N	+ ∞÷- ∞	k		∞
C	cv(n – k)/(n – 1)		cp	cv	∞

Таблица характеристик термодинамических процессов идеального газа

Процесс	Диаграммы	Значение n	Уравнение процесса	Связь между параметрами	Удельная теплоём- кость, cn	Удельная работа, l
p-v	T-s	Дж/кгК	Дж
Политро- пический	р   v	T   s	+ ∞ - - ∞	pv^n= const	р1/p2 = (v2/v1)^n T1/T2 = (v2/v1)^n-1 T1/T2 = (p1/p2)^(n-1)/n	cv (n – k) (n – 1)	1) R(T1 –T2)/(n-1) 2) (p1 v1 – p2 v2)/(n-1) 3) p1 v1/(n-1)(1- (v1/ v2)^n-1) 4) p1 v1/(n-1)(1- (p2/ v1)^(n-1)/n)
Изоба- рический			о	p= const, v/T = const	T1/T2 = v1/v2	cp=kR/(k-1)	p(v2 – v1)
Изохо- рический			∞	v= const, p/T = const	T1/T2 = p1/p2	cv= R/(k-1)	O
Изотер- мический				T= const, pv= const	p1/p2 = v2/v1	∞	RTln(v2/v1)
Адабати- ческий			k = ср/сv	pv^k= const	p1/p2 = (v2/v1)^k T1/T2 = (v2/v)^k-1 T1/T2 = (p1/p2)^(k-1)^/к		1) R(T1 –T2)/(k-1) 2) (p1 v1 – p2 v2)/(k-1) 3) p1 v1/(k-1)(1- (v1/ v2)^k-1) 4) p1 v1/(k-1)(1- (p2/ v1)^(k-1)/k)

k = 1 + R/c_v = 1 + 8.314/_µ c_v

k = 1.67 для 1- атомных; 1.4 для 2-х атомных и 1.29 для 3-х атомных газов

Процесс	Удельная теплота, q	Изменение удельной внутренней энергии, ∆u	Изменение удельной энтальпии, ∆i	Изменение удельной энтропии, s
	Дж	Дж/кг	Дж/кг	Дж/кгК
Политро- пический	cv(n-k)(T2 – T1)/(n-1)	cv(T2 – T1)	ср (T2 – T1)	1) cv(n-k)ln(T2/T1)/(n-1) 2) cpln(T2/T1)- Rln(p2/p1) 3) cvln(T2/T1) + Rln(v2/v1) 4) cvln(p2/p1) + cp ln(v2/v1) 5) cp(n-k) ln(p2/p1)/n
Изоба- рический	cp (T2 – T1)	cv(T2 – T1)	ср (T2 – T1)	cplnT2/T1
Изохо- рический	cv(T2 – T1)	cv(T2 – T1)	ср (T2 – T1)	cvlnT2/T1
Изотер- мический	RTln(v2/v1)	o	o	q/T
Адиабати- ческий	O	cv(T2 – T1)	ср (T2 – T1)	o

Дата добавления: 2014-01-15