Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Опр. Точки локальных min и max наз. точками локальных экстремумовф-ции




Экстремумы функции 2-х переменных

Опр Точка наз. точкой локального max (min) функции , если : выполнено неравенство.

Т.8. (Необходимое условие экстремума) Если функция достигает в точкелокального экстремума и имеет в этой точке частные производные , то .

Д-во. Зафиксируем . Тогда – функция 1-й переменной. – точка экстремума, следовательно,. Аналогично доказываем, что.

Зам ечание. Для : если – точка локального экстремума ф-ции и , то .

ПР. , , – точка локального min.

ПР. , , – нет экстремума (седло).

Опр. Точки наз. стационарными.

Пусть – стационарная точка функции и функция имеет в этой точке. Обозначим: , , , .

Т.9. (Достаточные условия экстремума) Пусть – стационарная точка функции и функция имеет в окрестности этой точки непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Тогда:

1) если , то – точка локального max;

, то – точка локального min;

2) если , то в нет локального экстремума.

Замечание. Если , то требуется дополнительное исследование.

ПР ,

1) .

2) .

– в -т. лок. min.

.

§ 11. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области

Постановка задачи: найти , , где – некоторая замкнутая обл-ть.

– замкнутая, следовательно, ей принадлежат все ее граничные точки. Для граница – непрерывная линия.

Схема решения задачи:

1) найти стационарные точки функции : из них выбрать те, которые ;

2) исследовать границы области. Т.е., если граница имеет уравнение , , то подставить в функцию : ; исследовать ее, как функцию 1-ой переменной при . Для этого найти точки + + .

3) во всех точках, полученных в 1) и 2) вычислить значения функции . Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

ПР. ; .

1) ;

2) исследуем границы:

a) : , ;

b) : , ;

c) .

3) ; ;

;

;

.

§ 12. Условный экстремум

Постановка задачи:

Имеем задачу оптимизации функции 1 переменной. Необходимым условием экстремума является .

Дифференцируем (1): (3)

Дифференцируем (2): (4)

: или , для определенности.

Подберем так, чтобы . Получим:

(5)

Очевидно, что (5) – частные производные функции , которая наз. функцией Лагранжа,
множитель Лагранжа.

В задача:

Функция Лагранжа: .

Составляем систему: все частные производные по всем переменным приравниваем 0, находим все стационарные точки. Вопрос о наличии экстремума в стационарной точке решают, как правило, на основании физического или геометрического условий задачи.

ПР. Найти прямой параллелепипед максимального объема при заданной площади поверхности .

, ,+

, – точка max из геометрических соображений.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 579; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.