Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если при величина , но при этом остается ограниченной величина , т.е. , то вероятность того, что в серии из испытаний число успехов находится в промежутке определяется с помощью функции Лапласа

, (12)

где - функция Лапласа.

Доказательство

(12)

Учитывая, что

и вводя обозначения и ,

преобразуем (12) к виду

( 13)

Следовательно, при больших значениях и не малых значениях функция биномиального распределения имеет вид функции нормированного нормального распределения с и .

Если числа и расположены симметрично относительно математического ожидания , т.е. и , то формула (13) примет вид

. (14)

Вероятность наступления события не менее, чем заданное число раз

Пример.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.7. Определить вероятность того, что при 100 выстрелах не менее 75 попадут в цель.

Решение. Здесь , , , , .

.

Необходимые значения функции Лапласа найдены из таблиц..

Пример

Монету бросают 700 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 350 раз.

Решение.

Рассмотрим случайную величину – количество выпадений герба при 700 бросках. Она распределена биномиально с . Значение , следовательно, можно применить локальную формулу Муавра – Лапласа.

Пример 2.

Монету бросают 700 раз. Найти вероятность того, что количество выпадений герба будет заключено в промежутке от 330 до 370.

Решение.

Рассмотрим случайную величину – количество выпадений герба при 700 бросках. Она распределена биномиально с . Значение , следовательно, можно применить интегральную формулу Муавра – Лапласа.

Пример.

Вероятность того, что изделие относится к первому сорту, равна 0.7. Партия содержит 10000 изделий. Определить вероятность того, что число изделий первого сорта в этой партии будет заключаться между 6900 и 7100.

Решение. Здесь , , , , .

Пример.

Вероятность того, что изделие относится к первому сорту равна 0.9. Партия содержит 1600 изделий. Определить с вероятностью 0.8, в каких границах будет заключаться число изделий первого сорта в этой партии, если эти границы должны быть симметричными относительно математического ожидания.

Решение. Здесь , , , , .

По формуле (14) . Отсюда .

По таблице значений функции Лагранжа найдем, что значению соответствует значение аргумента . Следовательно, и . Для определения границ, между которыми заключено число изделий первого сорта, имеем неравенство . Отсюда .

Дата добавления: 2014-01-15