Теорема Чебышева

Если – попарно независимые величины, имеющие ограниченные дисперсии, т.е. , то для любого положительного , как бы оно мало ни было,

(23)

Это соотношение означает, что для достаточно большого числа независимых С.В. с ограниченными дисперсиями почти достоверно то, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство.

Введем в рассмотрение СВ . Тогда . Применим к неравенство Чебышева (21)

.

Учитывая, что

вследствие ограниченности дисперсий, получим из (21)

. Отсюда и значит

Следствие из т. Чебышева

Если – попарно независимые величины, имеющие ограниченные дисперсии и одно и то же математическое ожидание , то для любого

. (24)

Теорема Чебышева может быть применена к среднему арифметическому значению одной случайной величины.

Пусть в результате испытаний случайная величина принимает значения . В результате других серий испытаний случайная величина принимает значения ; и т.д. Обозначим через случайную величину, которая принимает первые значения в различных сериях испытаний, т.е. Аналогично введем ,, . Все эти величины распределены по одному закону и имеют одно и то же математическое ожидание и одну и ту же дисперсию. Тогда .,

Т.е. при безграничном возрастании числа испытаний среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к математическому ожиданию этой величины.

Дата добавления: 2014-01-15