Центральная предельная теорема Ляпунова

Теорема Пуассона.

Пуассон обобщил теорему Бернулли на случай, когда вероятность события А различна при разных испытаниях

Частота наступления события А при безграничном возрастании сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей.

Пусть – попарно независимые величины, имеющие конечные математические ожидания, дисперсии и конечный центральный момент третьего порядка:

и . Тогда

,

т.е. плотность распределения суммы независимых случайных величин, подчиненных любым законам распределения, при неограниченном возрастании стремится к плотности нормального закона распределения.

При больших значениях случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием нуль и дисперсией, равной 1.

Если С.В. может быть рассмотрена как сумма большого числа независимых С.В., значение каждой из которых в общей сумме незначительно, то в силу теоремы Ляпунова изучаемая величина будет распределена нормально.

Смысл условия в данной теореме: в сумме ни одно из слагаемых не доминирует, вклад в сумму каждого слагаемого не подавляет вклад остальных слагаемых. Например, ошибка всякого измерения представляет собой С.В., возникающую в результате сложения большого числа незначительных элементарных ошибок. По теореме Ляпунова как бы ни были распределены эти элементарные ошибки, их сумма будет распределена нормально.

Дата добавления: 2014-01-15