Опр. Д.у. (15), где , – непрерывные функции в X, , называется линейным неоднородным

Уравнение (16)
– соответствующее однородное д.у.

Т.6. (Основная теорема теории лин. неоднородных д.у) Пусть – общее решение однородного д.у. (16), где – линейно независимые решения, а – некоторое частное решение неоднородного д.у. (15). Тогда есть общее решение неоднородного д.у. (15).

Д-во: Рассмотрим : (17).
Пусть – общее решение ,
– некоторое частное решение (17). Покажем, что (18) – общее решение (17).

а) Подставим (18) в (17), получим: или .

б) Н.У.: , , , где , D – область, где выполнены условия теоремы о существовании единственного решения д.у., и – непрерывные функции. Покажем, что такие, что удовлетворяет Н.У.:

. , т.к. и линейно независимые решения по условию система имеет единственное решение, т.е. .

Д-во для случае аналогично.

Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного д.у., надо знать какое-нибудь частное решение этого уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим д.у. (17), где – непрерывны в X. Пусть

(19)

(соответствующее однородное д.у.) имеет , где и – линейно независимы. Будем искать решение (17) в виде . (20)

.

Подберем так, чтобы (*). Тогда (21)
. (22).
Подставим (20), (21), (22) в (17):

(**).

Т.о. (23),
т.к. и – линейно независимые решения, то , , , то .

ПР. ; ; ; ; , ;

ПР. . 1) , , , , .

Дата добавления: 2014-01-15