Метод зеркальных изображений

Теорема единственности решения уравнения Лапласа.

Электрическое поле описывается уравнениями Лапласа или Пуассона . Оба эти уравнения являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Уравнения в частных производных имеют в общем случае множество линейно независимых друг от друга решений. В любой же конкретной практической задаче есть единственная картина поля, т.е. единственное решение. Так уравнению Лапласа удовлетворяют функции

и т.д.

Из множества линейно независимых решений, допускаемых уравнением Лапласа или Пуассона, выбор единственного, удовлетворяющего конкретной задаче, производят с помощью граничных условий.

Теорема. Если решение уравнения Лапласа удовлетворяет граничным условиям на границе рассматриваемой области, то оно является единственно возможным. Следовательно, для определения поля при помощи уравнений Лапласа нужно знать граничные условия.

Пусть поле возбуждается системой зарядов, и задан потенциал на границе рассматриваемой области. Если эту систему заменим системой других зарядов, но так, чтобы на заданной поверхности (границе) потенциал не изменился, то согласно теореме единственности решение уравнение Лапласа остается неизменным. Метод электрических изображений (рис. 2.14) и заключается в том, что реальную систему зарядов заменяют искусственной так, чтобы потенциал на граничной поверхности не изменился. Такая замена часто позволяет облегчить расчет не симметричных полей в неоднородных средах.

Частным случаем этого метода является метод зеркальных изображений (рис. 2.15).

Поле заряда q заменяется системой двух зарядов так, чтобы картина поля не изменилась (заряд отображается в нижнем полупространстве зеркально). Поле рассчитывается как результирующее, возбуждаемое зарядами + q и - q и граница раздела сред не учитывается, т.е. пространство рассматривается однородным, таким, в котором находится заряд q.

Дата добавления: 2014-01-15