Поверхностный эффект в цилиндрическом проводнике

Пусть по цилиндрическому проводу радиуса протекает синусоидальный ток частотой . Провод будем считать бесконечно длинным.

Необходимо найти плотность тока и напряженность в любой точке сечения провода.

Решение проведем в цилиндрической системе координат (рис. 7.3).

Напряженность электрического поля имеет только составляющую, параллельную оси , линии вектора напряженности магнитного поля – концентрические окружности.

Электромагнитное поле при принятых условиях обладает цилиндрической симметрией, и значение векторов и будет изменяться только в зависимости от расстояния до оси проводника.

В цилиндрической системе координат вектор напряженности электрического поля и вектор плотности тока имеют составляющую только по оси , вектор напряженности магнитного поля имеет составляющую только по координатной линии координаты . Поэтому

.

Запишем уравнения Максвелла для проводящей среды (5.27) в комплексной форме записи:

,

.

Умножим второе уравнение на и учтем, что , тогда

. (7.12)

, т.е.

.

В установившемся режиме , поэтому

. (7.13)

Раскроем в цилиндрической системе координат и учтем, что не зависит от и . Получим

, или .

Обозначим , (7.14)

тогда или

. (7.15)

Это уравнение есть частный случай уравнения Бесселя. Его решение

,

где - постоянные интегрирования;

- функция Бесселя нулевого порядка первого рода;

- функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

При

. (7.16)

Определим из выражения (7.12) с учетом (7.14).

,

,

т.е. , (7.17)

где - функция Бесселя первого порядка первого рода.

Используем закон полного тока (4.23) для нахождения постоянной интегрирования .

На поверхности провода при .

_, . (7.18)

Подставив найденное значение в формулы (7.16) и (7.17), получим

, (7.19)

. (7.20)

С помощью этих формул можно определить комплекс плотности токаи комплекс напряженности поля в любой точке сечения провода.

Радиус может принимать значения от 0 до . Для точки на оси провода ; для точки на поверхности провода . Так как , то на оси провода

. (7.21)

Учитывая (7.19) и (7.20) получим

. (7.22)

Из формулы (7.22) следует, что на поверхности провода

. (7.23)

Функции Бесселя и от комплексного аргумента также комплексные, определяются по таблицам, в которых дается значение модуля и аргумента:

, . (7.24)

Так как , то с учетом (7.24) формула (7.19) примет вид

.

График распределения модуля вдоль оси провода представлен на рис. 7.4. График распределения модуля представлен на рис. 7.5.

Дата добавления: 2014-01-15