Оператор вращения и действия над комплексными числами

Синусоидально изменяющиеся функции, какими являются мгновенные значения напряжения, тока и ЭДС, могут быть представлены вращающимися векторами. На комплексной плоскости (рис. 7.1) при вращении в положительном направлении (против хода часовой стрелки) с угловой скоростью ω вращающийся вектор представляется следующим образом:

. (7.3)

Рис. 7.1. К определению понятия оператора вращения  

Сомножитель , входящий в выражение (7.3), представляет собой вектор, называемый оператором вращения. Он имеет единичную длину и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей цепи.

Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения , начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω, что позволяет исследовать векторные величины методами комплексных чисел.

Рассмотрим алгебраические действия над комплексными числами А ₁ = А₁^’+jA₁^’’ = и А ₂ = А₂^’+jA₂^’’ =.

1. Сложение

А ₁ + А ₂ =(А₁^’ + А₂^’)+(jA₁^’’ + jA₂^’’) =(А₁^’ + А₂^’)+ j (A₁^’’ + A₂^’’).

2. Вычитание

А ₁ - А ₂ =(А₁^’ - А₂^’)+(jA₁^’’ - jA₂^’’) =(А₁^’ - А₂^’)+ j (A₁^’’ - A₂^’’).

3. Умножение

А ₁ ∙ А ₂ =(А₁^’∙ А₂^’ - A₁^’’∙ A₂^’’)+ j (A₁^’’∙ A₂^’+ A₂^’’ ∙ A₁^’) или

А ₁ ∙ А ₂ =∙=

4. Деление

или .

При расчете цепей переменного тока часто приходится встречаться с дифференцированием и интегрированием мгновенных значений токов и напряжений.

Рассмотрим порядок дифференцирования, например, когда оригиналом является ток , то производная будет иметь изображение:

. (7.4)

Изображением производной от напряжения является выражение:

. (7.5)

В выражениях (7.4) и (7.5) математический знак ÷ означает соответствие. Из этих выражений (7.4) и (7.5) следует, что в изображениях комплексного переменного операция дифференцирования представляется (заменяется) умножением изображения мгновенного значения на комплексный оператор jω.

При интегрировании мгновенных значений напряжения и тока в комплексной форме необходимо эти изображения разделить на упомянутый оператор jω для тока и для напряжения .

Дата добавления: 2014-01-15