Диаграмма нулей и полюсов передаточной функции цепи

Лекция 14. Диаграмма нулей и полюсов

Тема 4. Анализ переходных процессов с помощью преобразований Лапласа

Для передаточной функции (12.12)

(14.1)

где а_i и b_i - вещественные коэффициенты, значения которых определяются параметрами пассивных элементов и управляемых источников линейной цепи.

Значения аргумента р_0i, при которых N(p) = 0, M(p) ≠ 0, называются нулями, а значения аргумента р_хi, при которых N(p) ≠ 0, M(p) = 0, - полюсами функции Н(p).

Решая уравнения N(p) = 0, M(p) = 0 и разлагая полиномы N(p) и M(p) на множители, выражение (14.1) или (12.12) можно преобразовать к виду

(14.2)

где - вещественное число, называемое масштабным коэффициентом или коэффициентом передачи.

Зная расположение нулей и полюсов передаточной функции (14.2) цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности, найти реакцию цепи на заданное воздействие или построить её амплитудно-частотную и фазовую частотную характеристики.

Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексной частоты называется диаграммой нулей и полюсов или полюсно -нулевой диаграммой функции. При построении полюсно – нулевых диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответственно jω и σ, нули изображают кружками, а полюсы - крестиками.

Пример 1. Для цепи, схема которой приведена на рис. 14.1, а, найдем операторное входное сопротивление Z_11x(p) со стороны зажимов 1-1’ и операторный коэффициент передачи по напряжению К_21х(р) от зажимов 1-1’ к зажимам 2-2’ в режиме холостого хода на зажимах 2-2’.

Построим диаграммы нулей и полюсов функций Z_11x(p) и К_21х(р).

Выражения для комплексного входного сопротивления и комплексного коэффициента передачи рассматриваемой цепи имеют вид:

.

Заменяя в этих выражениях jω на р, находим операторное входное сопротивление и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:

;

.

Нетрудно убедиться, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении операторной схемы замещения цепи (рис. 14.1, б).

Полюсно – нулевые диаграммы функций и изображены на рис. 14.1, в, г. Функция имеет один нуль , а функция имеет один нуль p₀₁=0 и один полюс .

Пример 2. Найдем операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура, схема которого изображена на рис. 14. 2.

Построим полюсно – нулевую диаграмму функции .

Операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура равно сумме операторных сопротивлений входящих в контур элементов:

. (14.3)

		Рис. 14.2. К примеру 2 для определения операторного входного сопротивления последовательного колебательного контура методом построения диаграмм нулей и полюсов

1 i₁ i₂ 2 i₂ u₂ 2’ u₁ i₃ 3 u₃ 1’ i₁ i₃ 3’ a)

Используя обозначения и , запишем выражение для передаточной функции операторного входного сопротивления контура в виде

.

В зависимости от соотношения между величинами и операторное входное сопротивление может иметь:

- два различных вещественных нуля

;

- два одинаковых вещественных нуля

;

- или два комплексно-сопряженных нуля

.

Во всех случаях передаточная функция имеет один полюс р_х1 = 0.

Диаграммы нулей и полюсов передаточной функции для изображены на рис. 14.3, а, б, в.

Очевидно, что нули передаточной функцииявляются полюсами функции Y_11x(p), а полюсы функции - нулями Y_11x(p).

Из примеров 1 и 2 следует, что нули операторного входного сопротивления цепи (полюсы передаточной функции входной проводимости) совпадают с корнями характеристического уравнения, определяющего характер свободных процессов в цепи. Этот результат имеет весьма общий характер и позволяет находить корни характеристического уравнения по выражению для входного сопротивления (входной проводимости) цепи, не прибегая к трудоемкому составлению дифференциального уравнения.

Корни характеристического уравнения пассивной электрической цепи обладают следующими свойствами:

- вещественные части всех корней должны быть отрицательными для обеспечения затухающего процесса;

- все комплексные корни должны быть попарно сопряженными, так как ток и напряжение являются вещественными величинами;

- чисто мнимые корни должны быть простыми для исключения колебаний с нарастающей до бесконечности амплитудой (чисто мнимые корни могут быть только для цепей без потерь).

Оценим возможности построения частотных характеристик цепи с помощью диаграмм полюсов и нулей передаточной функции.

Дата добавления: 2014-01-15