Общие формулы основных уравнений линий

Рассмотрим линию:

dx – бесконечно малый элемент длины,

x – расстояние от начала линии.

Рисунок 1.14

Токи в цепи с распределенными параметрами в различных ее точках не одинаковы, т.к. проводимость и емкость распределены вдоль всей линии и вызывают утечку тока различной величины. Учитывая это для расчетов нельзя применять уравнения цепи сосредоточенными параметрами, где ток остается неизменным вдоль всей неразветвленной цепи. В этом случае на электрической линии выделяют бесконечно малый элементарный участок dx, изменениями тока и напряжения, вдоль которого можно пренебречь.

Эквивалентная схема участка dx.

Применяя закон Ома к эквивалентной схеме, получаем падение напряжения в проводниках:

(1.32)

(1.33)

Рисунок 1.15

Продифференцируем данные уравнения по х, тогда дифференциальное уравнение линии примет вид:

; (a)

. (b)

где R + jwL = Z_пр – километрическое сопротивление проводов;

G + jwC = Y_из – километрическая проводимость изоляции.

Для перехода к уравнению с одной функцией продифференцируем уравнение а по х

.

Подставим b в получившееся выражение:

(1.34)

где dU_х – бесконечно малая величина второго порядка, которая стремится к нулю, поэтому мы можем ей пренебречь.

, (1.35)

где = g – коэффициент распространения волны.

Преобразуем выражение (1.9)

. (1.36)

Зная что =g, получим волновое уравнение линии

. (1.37)

Данное уравнение описывает механизм распространения волны вдоль линии и представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение выглядит следующим образом:

, (1.38)

где A₁ и А₂ – напряжения, определяемые из начальных условий.

Продифференцируем данное выражение

. (1.39)

Подставим теперь это выражение в формулу (1.7а)

. (1.40)

Далее получим

, (1.41)

где Z_в=– волновое сопротивление линии.

Дата добавления: 2014-01-15