Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Рациональные (дробно-рациональные) неравенства. Метод интервалов для рациональных функций

Важнейшим методом решения неравенств является метод интервалов. В 9 классе изучается метод интервалов, прежде всего для многочленов. Он основан на том, что двучлен положителен при и отрицателен при , то есть меняет знак при переходе через точку .

Заметим, что

1. двучлен в нечетной степени ведет себя так же, как ,

2. двучлен в четной степени ведет себя по-другому: он не меняет знак при переходе через точку .

3. квадратичный трехчлен, имеющий положительный коэффициент при и отрицательный дискриминант, всегда положителен и может быть опущен при решении любого неравенства.

4. при переходе через точку может изменить знак только один множитель, , выражение при переходе через точку знак не меняет.

 

 

Пример. а. Решить неравенство ,

б.

 

Решение: а. Для решения строгого неравенства наносим на числовую ось нули функции кружочками («дырками»). Далее расставляем знаки, учитывая замечание выше:

 

 

Ответ: .

б. Вспомним, что по определению,

.

Для решения нестрогих неравенств наносим нули функции на числовую ось точками. Затем расставляем знаки в промежутках.

Ответ: .

Метод интервалов легко распространяется на рациональные функции.

Рациональной называется функция, которая может быть представлена в виде частного двух многочленов, то есть в виде .

Неравенства называются рациональными, если их правые и левые части являются рациональными функциями.

 

Заметим, что , поэтому метод интервалов применяется к дроби точно так же, как и к многочленам. Для нестрого же неравенства имеем:

.

При решении нестрогих рациональных неравенств нули числителя наносятся на числовую ось точками, а нули знаменателя - «дырками».

 

Пример. Решить неравенство .

 

Решение: Приведем неравенство к стандартному виду и разложим числитель и знаменатель на множители. Затем решаем методом интервалов:

, , ,

Ответ: .

 

 

Пример. Найти сумму целых решений неравенства .

 

Решение: Решим неравенство методом интервалов:

. Видно, что целыми решениями являются числа: -2, -1. 3. 4. Их сумма равна 4.

Ответ: 4.

 

Для самостоятельного решения:

  1. Решить неравенства:

2. Укажите длину промежутка, который является решением неравенства:

Ответ: 9.

3. Найти произведение всех целых решений неравенства: .

Ответ: .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Пример | Модуль и его свойства
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 1071; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.