Временной анализ. Временные характеристики

При изучении систем ищут реакцию системы на входные сигналы, к ко­торым предъявляются противоречивые требования. С одной стороны, сигналы должны быть ближе к реальным сигналам на входе системы. С другой стороны, сигналы должны быть проще, чтобы было легче по­строить реакцию.

Поэтому обычно ищут реакцию на так называемые тиковые сигналы, примерами которых является единичное ступенчатое воздействие l(t); дельта функция (t); линейно изменяющийся сигнал at (с постоянной скоростью = a); сигнал с постоянным ускорением ; экспоненциальный сигнал e, синусоидальный (гармонический) сигнал (X- амплитуда, - круговая частота, - начальная фаза) и т. д.

Временной метод анализа основан на применении временных характеристик и интеграла Дюамеля. К временным характеристикам относятся переходная функция и функция веса, или импульсная переходная функция.

Переходной функцией h(t) называется реакция звена или системы при нулевых начальных условиях на единичный скачок (функцию Хевисайда), или единичное ступенчатое воздействие 1(t). Эта функция определяется следующим выражением (2.3.1)

В зарубежной литературе функцию Хевисайда обычно обозначают через .

Примером подобного воздействия является скачкообразное изменение сиг­нала (изменение тока, напряжения при включении и выключении, приложение тормозящего момента к двигателю и т.д.). Если высота скачка равна Х ₀, то его можно представить в виде Х ₀.

Функцией веса w(t) называется реакция звена или системы при нулевых начальных условиях на дельта-функцию (функцию Дирака, или функцию) , определяемую следующим выражением:

(2.3.2)

На функцию дополнительно накладывается условие нормировки, заключающееcя к приравниванию площади под кривой единице, т.е.

. (2.3.3)

Примером подобного воздействия является короткое замыкание, устраняемое быстрым перегоранием плавкого предохранителя. функция является математической абстракцией, так как реальные сигналы имеют конечную длительность. На практике сигнал по отношению к данной системе можно считать функцией, если за время его действия реакция системы изменяется незначительно. Рассмотрим прямоугольный импульс высотой Х ₀ и малой длительностью . Тогда сигнал можно записать в виде Х ₀, где Х ₀- площадь под кривой сигнала (представленного функцией с неединичной площадью). Очевидно, что функция, кроме размерности физиче­ской величины (Х ₀) имеет размерность времени : [размерность физической величины с].

Важным свойством функции является фильтрующее свойство, заклю­чающееся в равенстве . (2.3.4)

При вычислении интеграла учтем, что функция отлична от нуля в узкой окрестности точки t = . Левее и правее этой точки интегралы (площади под кри­выми произведения функций х(t) и (t-) равны нулю. В окрестности точки функция x(t) постоянна, равна x() и ее можно вынести за знак интеграла, а интеграл от функции по условию нормировки равен единице, откуда и следует фильтрующее свойство (2.3.4). Смысл названия свойства в том, что благодаря операции (2.3.4) из множества точек функции х(t) выделяется (фильтруется) единственная точка .

Сказанное можно записать следующим образом ()

.

Пример 2.3.1. Найдем реакцию звена с прередаточной функцией W(p) на -функцию т.е. на x(t) = при нулевых начальных условиях.

Найдем изображение функции

.

Здесь при вычислении мы по существу воспользовались фильтрующим свойством функции, и можно было сразу записать ответ Х(р) = 1. Согласно определению передаточной функции Y(p) = X(р)W(p) = W(p). Но ре­акцией на -функцию является функция веса. Поэтому между функцией веса и передаточной функцией простая связь. Функция веса – это оригинал, а пере­даточная функция – это ее изображение по Лапласу, т.е. . Поэтому функцию веса обозначают строчной буквой по аналогии с обозначениями оригинала и изображения в (2.2.11).

Пример 2.3.2. Найдем реакцию звена с прередаточной функцией W(p) на единичный скачок, т.е. на x(t) = при нулевых начальных условиях.

Найдем изображение единичного скачка.

.

Согласно определению передаточной функции имеем Y(p) = X(р)W(p) = . Но реакцией на единичный скачок является переходная функция. Поэтому между переходной функцией и передаточной функцией простая связь. Переходная функция – это оригинал, а – это ее изображение по Лапласу.

Чтобы установить связь между временными характеристиками, обратим внимание на то, что изображение функции веса в р раз больше изображения переходной функции. Следовательно, функция веса является производной от переходной функции. Обратно переходная функция является интегралом от функции веса. Таким образом:

; ; (2.3.5)

. (2.3.6)

В литературе по теории автоматического управления досих пор встречается преобразование Карсона-Хевисайда, связанное с преобразованием Лапласа формулой: .

Переходная и передаточная функции являются парой преобразования Карсона-Хевисайда, т.е. h(t)W(p).

Реакцию на произвольное воздействие можно найти с помощью интеграла Дюамеля, если известны временные характеристики. Вывод интеграла Дюамеля основан на принципе суперпозиции (наложения), справедливом для ли­нейных систем и заключающем­ся в том, что реакция такой системы на сумму сигналов равна сум­ме реакций на эти сигналы.

Реальная система не может реагировать на сиг­нал до момента его возникновения. Поэтому на функцию веса нак­ладывается ограничение, на­зываемое условием физической осуществимости системы:

w(t) 0, t < 0. (2.3.9)

В реальных инерционных системах с ограниченной полосой про­пускания h(0) = 0, и поэтому вместо (2.3.7) интеграл Дюамеля имеет вид

. (2.3.10)

Временные характеристики типовых звеньев (табл.2.3.1.) можно найти с помощью обратного преобразования Лапласа, имея в виду, что исходя из определений функции веса и переходной функции вытекают отношения

; .

Одну временную характеристику можно определить по другой, используя соотношения ; .

Временные характеристики типовых звеньев Таблица 2.3.1

		,
		,

Временные характеристики можно найти, решая непосредственно диф-ференциальное уравнение при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим переходную функцию системы, имеющую вид, изображенный на рис.2.3.2. Время регулирования найдем как время, по истечении которого кривая переходного процесса не выходит за пределы зоны шириной , причем

(5 % от установившегося значения). Склонность к колебаниям и, соответственно, степень устой-чивости системы характеризуется динамической ошибкой, или перерегулированием - относительной величиной (в процентах) выброса выходной величины сверх установившегося значения, т.е.

. (2.3.13)

На практике динамическая ошибка обычно составляет 20 - 30%. Максимальное допустимое значение динамической ошибки составляет 50%. В ответственных случаях динамическая ошибка вообще не допускается, т.е. переходный процесс должен быть монотонным (без колебаний, или без перерегулирования, как у инерционного звена, например).

Для сравнения звеньев и систем друг с другом под полосой пропускания понимается диапазон частот, в котором амплитуда A() сохраняет величинуне меньше 0.707 A _max.

Пример 2.4.1. Найти полосу пропускания инерционного звена с пе­редаточ­ной функцией по уровню 0.707 от максимальной величины.

Заменяя р на j, получим частотную передаточную функцию .

Найдем модуль как модуль дроби, равный модулю числителя, деленному на модуль знаменателя. При этом считаем . Имеем .

Отсюда А_max =А( 0 ) = k. На частоте сопряжения имеем . Следовательно, полосой пропускания инерционного звена по уровню является отрезок [], а ши­рина полосы пропускания (длина отрезка) равна .

Так как в линейной системе теоретически переходный процесс заканчивается при t , то на практике под временем регулирования (или переходного процесса) понимают время t _п = t _р, по истечении которого график переходной характеристики h (0) не выходитза пределы зоны шириной ±= ±0,05 h () от ус­тановившегося значения h () как было показано на рис.2.3.2.

Пример 2.4.2. Найти время регулирования инерционного звенаизпредыду­щего примера, принимая за время регулирования момент времени при котором переходная функция достигает 95% от установивше­гося значения.

Изображение по Лапласу реакции звенана единичное ступенча­тое воздей­ствие при нулевых начальных условиях равно .

Оригинал этого изображения есть .

Отсюдаимеем h () = k, . (2.4.34)

Переходная функция, или реакция на единичный скачок при нулевых начальных условиях, построенная по (2.4.34), изображена на рис.2.4.10. В случае входного сигнала реакция плавно изменяется (по экспоненте) от нуля до . Т.е. реакция не является скачком высотой . Поэтому звено называют инерционным. Полагая h(t _p ) = 0.95 h (), найдем

. (2.4.35)

Следовательно, время регулирования обратно пропорционально полосе пропускания звена . Таким обазом, чем шире полоса пропускания, тем больше быстродействие (меньше время регулирования).

Эта связь между полосой пропускания и временем регулирования вытекает из теоремы подобия, рассматриваемой в преобразовании Фурье (и Лапласа).

Дата добавления: 2014-01-15