Логические операции над высказываниями

Понятие высказывания.

Тема 1.1 Элементы дискретной математики.

Модуль 1. Элементы теории вероятностей

Лекция 1

Меражов Ильхом Завкидинович

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры математики и информатики НГИ

* * *

Литература:

1. Кремер Н. III. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: ЮНИТИ-Дана, 2006.

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. — М.: Высшая школа, 2001.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2003.

4. Арбузов П.В., Герасименко В.Н. Высшая математика для юристов. – Феникс, 2007.

5. Турецкий В.Я. Математика и информатика, Инфра-М, 2002.

* * *

Высказывания, операции с высказываниями (отрицание, сложение, умножение, импликации) и их связь с операциями над множествами. Таблица истинности.

Множество, операции над множествами и их связь с операциями с высказываниями.

Комбинаторные принципы сложения, умножения, и отрицания. Основные комбинаторные формулы: число перестановок, число размещений, число сочетаний.

Основным понятием математической логики является понятие «высказывания».

Высказыванием называется всякое утверждение (повествовательное предложение), про которое всегда определенно и объективно можно сказать, является ли оно истинным или ложным в данных условиях места и времени.

Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры:

1. Дважды два – четыре

2. Новосибирск стоит на Оби.

3. Париж – столица Англии.

4. Число 6 делится на 2 и на 3.

5. На улице идет дождь.

6. Как пройти в библиотеку?

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным.

Примерами элементарных высказываний 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если …, то …», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать буквами латинского алфавита: А, В, С,… X, Y, Z;

истинное значение – буквой И или цифрой 1,

а ложное значение – буквой Л или цифрой 0.

Если высказывание X истинно, то будем писать X=1, если же ложно, то X=0.

Рассмотрим логические связки позволяющие конструировать из простых высказываний сложные. Это называется – логическими операциями.

1. Операция Отрицания .

Отрицание высказывания – высказывание, противоположное данному.

Отрицание высказывания Х обозначается или , читается «не Х» или «неверно, что Х».

Отрицанием высказывания Х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание Х ложно,

и ложным, если высказывание Х истинно.

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы:

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.

Пример. Высказывание А – «подсудимый виновен»

Высказывание – «подсудимый не виновен»

Пусть Х высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется двойным отрицанием высказывания Х. Ясно, что логические значения высказываний и Х совпадают (закон двойного отрицания – отрицание отрицания).

Например,

Высказывание – «Москва – столица России».

Отрицание высказывание – «Неверно, что Москва – столица России».

Двойное отрицание – «Неверно, что Москва – не столица России».

2. Логическое сложение или дизъюнкция

Логическим сложением (Дизъюнкцией) двух высказываний X, Y называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний X, Y истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний X, Y обозначается символом X+Y (X Ú Y), читается «X или Y».

Все возможные логические значения дизъюнкции двух высказываний X и Y описываются следующей таблицей истинности:

Значение операции Х+У (кроме первой строчки), как видно из таблицы, получаются простым алгебраическим сложением значений Х и У.

В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Например, «Договор может быть заключен в устной или в письменной форме»

Дата добавления: 2014-01-15